2010年高考数学一轮复习学案：棱锥.doc

一. 知识回顾:

棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形. [注]：①一个棱锥可以四各面都为直角三角形.

②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以V棱柱Sh3V棱柱.

⑴①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心. [注]：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形） ii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等

iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形.

②正棱锥的侧面积：SCh'（底面周长为C，斜高为h'） ③棱锥的侧面积与底面积的射影公式：S侧a12S底cos12（侧面与底面成的二面角为）

附： c 以知c⊥l，cosab，为二面角alb.

l b 则S1al①，S2lb②，cosab③ ①②③得

S侧S底cos12.

注：S为任意多边形的面积（可分别多个三角形的方法）. ⑵棱锥具有的性质：

①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.

②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形. ⑶特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：

①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.

②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.

③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.

⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.

⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径；

⑧每个四面体都有内切球，球心I是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.

[注]：i. 各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（×）（各

A个侧面的等腰三角形不知是否全等）

baii. 若一个三角锥，两条对角线互相垂直，则第三对角线必然垂直. 简证：AB⊥CD，AC⊥BD BC⊥AD. 令ABa,ADc,ACb

BcCDEFD

AO'HG得BCACABba,ADcBCADbcac，已知acb0,bac0

acbc0则BCAD0.

iii. 空间四边形OABC且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形.

iv. 若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形.

简证：取AC中点O'，则ooAC,BOACAC平面OOBACBOFGH90°易知EFGH为平行四边形EFGH为长方形.若对角线等，则EFFGEFGH为正方形. 二. 基础训练:

1．给出下列命题：

①底面是正多边形的棱锥是正棱锥； ②侧棱都相等的棱锥是正棱锥；

③侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥；

④侧面和底面所成二面角都相等的棱锥是正棱锥，其中正确命题的个数是( A )

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 2．如果三棱锥SABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S在底面的射影O在ABC内，那么O是ABC的( D ) (A)垂心 (B)重心 (C)外心 (D)内心

3．已知三棱锥DABC的三个侧面与底面全等，且ABAC3 ，BC2，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的大小是( C )

2 (A) (B) (C) (D)34324、若一个三棱锥中，有一条棱长为a，其余棱长均为1，则其体积F(a)取得最大值时a的值为（ ） A、1 B、三.例题分析:

例1．正四棱锥SABCD中，高SO26，两相邻侧面所成角为 ，tan356 C、 D、 222223, 3(1)求侧棱与底面所成的角。(2)求侧棱 长、底面边长和斜高(见图)。

解：（1） 作CFSB于F，连结AF，则CFBABF且AFSB，故AFC是相邻侧面所成二面角的平面角，连结OF，则AFC， OFC与RtOBF中， tan为) 故 sin2，在RtOFC2＝

OCOB1＝(其中SBO为SB与底面所成的角，设OFOFsin3,60。 2（2）在 RtSOB中，侧棱SBSO=42，OBSOcot22， sina∴边长BC2OB4；取BC的中点E，连结SE，则SE是正四棱锥的斜高， 在RtSEB中，斜高SESB2SE227；

例2．如图正三棱锥ABCA1B1C1中，底面边长为a，侧棱长为2a，若经过对角2线AB1且与对角线BC1平行的平面交上底面于DB1。（1）试确定D点的位置，并证明你的结论；（2）求平面AB1D与侧面AB1所成的角及平面AB1D与底面所成的角；（3）求A1到平面AB1D的距离。

解：（1）D为A1C1的中点。连结A1B与AB1交于E，则E为A1B的中点，DE为平面AB1D

与平面A1BC1的交线，∵BC1//平面AB1D ∴BC1//DE，∴D为A1C1的中点。

（2）过D作DFA1B1于F，由正三棱锥的性质，AA1DF,DF平面AB1，连结DG，则DGF为平面AB1D与侧面AB1所成的角的平面角，可求得DF3a，∴DGF 44

AA1DFEGCBC1B13a， 4由B1FGB1AA1，得FG∵D为A1C1的中点，∴B1DAC1B1D，∴B1D平11，由正三棱锥的性质，AA面A1C

∴B1DAD，∴A1DA是平面AB1D与上底面所成的角的平面角，可求得

tanA1DA2，∴A1DAarctan2

（3）过A1作A1MAD，∵B1D平面A1C，∴B1DA1M，∴A1M平面AB1D 即A1M是A1到平面AB1D的距离，AD36a，∴A1Ma 26例3．如图，已知三棱锥PABC的侧面PAC是底角为450的等腰三角形，

PAPC，且该侧面垂直于底面，ACB90，AB10,BC6，B1C13， (1)求证：二面角APBC是直二面角； (2)求二面角PABC的正切值；

(3)若该三棱锥被平行于底面的平面所截，得到一个几何体ABCA1B1C1，求几何体ABCA1B1C1的侧面积．

证 (1) 如图，在三棱锥PABC中，取AC的中点D．

由题设知PAC是等腰直角三角形，且PAPC．∴ PDAC ． A1 ∵ 平面A1ACC1平面ABC，∴ PD平面ABC ， ∵ ACBC ∴ PABC，∴ PA平面PBC， ∵ PA平面PAB ， ∴平面PAB平面PBC， 即二面角APBC是直二面角．

解 (2)作DEAB，E为垂足，则 PEAB．∴ PED是二面角PABC的平面角．在RtABC中，AB10,BC6，则AC8,PD4

由RtADEB1

A

E D P A1 P

C1 B1

A

B

图31—3

C

C1

C

B

图31－31

RtABC，得

DEBCAD6412＝＝，

510ABPD5＝． DE3

∴ 所求正切为tanPED(3) ∵ B1C3∴ SPAC1 ∴A1,B1,C1 分别是PA,PB,PC的中点． BC211841，6 SPBC642122． 221444＝34， 255∵ PEPD2DE2＝1614 SPAB1034 434．

25∴ S棱锥侧SPABSPBCSPCA43412216，∴ 几何体ABCA1B1C1的

3侧面积 S几何体S棱锥侧3349212

4

四、作业 同步练习 棱锥

1．给出下列命题：

①底面是正多边形的棱锥是正棱锥； ②侧棱都相等的棱锥是正棱锥；

③侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥；

④侧面和底面所成二面角都相等的棱锥是正棱锥，其中正确命题的个数是( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3

2．如果三棱锥SABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S在底面的射影O在ABC内，那么O是ABC的( ) (A)垂心 (B)重心 (C)外心 (D)内心

3．已知三棱锥DABC的三个侧面与底面全等，且ABAC3 ，BC2，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的大小是( )

(A)2 (B) (C) (D)

34324、若P是正四面体内一点，P到各面距离之和是一个定值，这个定值等于（ ）

A、正四面体的棱长 B、正四面体的斜高 C、正四面体相对棱间的距离 D、正四面体的高

5、若一个三棱锥中，有一条棱长为a，其余棱长均为1，则其体积F(a)取得最大值时a的值为（ ）

A、1 B、

356 C、 D、 2226、一棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为1：3，则此截面把一条侧

棱分成的两线段之比为（ ）

A、1：3 B、1：2 C、1：3 D、1：

31



7、正三棱锥的高是3，侧棱长是7，那么侧面和底面所成的二面角的大小是 . 8、三棱锥的三条侧棱两两垂直，且长度分别为1cm,2cm,3cm，则此棱锥的体积为 。 9、已知三棱锥A-BCD的体积为V，棱BC的长为a，面ABC和面DBC的面积分别为S1和S2，设面ABC和面DBC所成二面角为，则sin＝ . 10、三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=AB=AC=a，则该三棱锥表面积S的取值范围是 ；体积V的取值范围是 .

11．如图，已知三棱锥PABC的侧面PAC是底角为45的等腰三角形，PAPC，且该侧面垂直于底面，ACB90，AB10,BC6，B1C13， (1)求证：二面角APBC是直二面角； (2)求二面角PABC的正切值；

(3)若该三棱锥被平行于底面的平面所截，得到一个几何体ABCA1B1C1，求几何体

0ABCA1B1C1的侧面积．

A1 P

C1 B1

A

B

C

12、已知在四面体ABCD中，PA= a，PB= b，PC= c，G∈平面ABC． （1）若G为△ABC的重心，试证明PG1(a+b+c)； 3P （2）试问（1）的逆命题是否成立？

并证明你的结论．

A C

G

B

D

参考答案

ADCDDD

7、60 8、1cm3 9、

11、证 (1) 如图，在三棱锥PABC中，取AC的中点D．

由题设知PAC是等腰直角三角形，且PAPC．∴ PDAC ． ∵ 平面A1ACC1平面ABC，∴ PD平面ABC ， ∵ ACBC ∴ PABC，∴ PA平面PBC， ∵ PA平面PAB ， ∴平面PAB平面PBC， 即二面角APBC是直二面角．

A

E D

A1

B1

C

P

C1

3va2s1s2 10、

1323aS(1)a20Va3 228B

图31－31

解 (2)作DEAB，E为垂足，则 PEAB．∴ PED是二面角PABC的平面角．在RtABC中，AB10,BC6，则AC8,PD4

由RtADERtABC，得

BCAD6412＝＝，

510ABPD5＝． DE3 DE∴ 所求正切为tanPED(3) ∵ B1C3∴ SPAC∵ PE1 ∴A1,B1,C1 分别是PA,PB,PC的中点． BC211， SPBC642122． 841622PD2DE2＝161444＝34， 255 SPAB∴ S棱锥侧积 S几何体

141034 434． 25SPABSPBCSPC4122，1∴6 几何体ABCA1B1C1的侧面A343S棱锥侧3349212 412、解：（1）连AG交BC于D，则D平分BC，且G分AD所成的比为2∶1，从而

2AD， 3111AD(ABAC)[(PBPA)(PCPA)](bc2a)，

22211故PGa(bc2a)(abc)．

33PGPAAGa（2）逆命题成立，证明如下：

设D分BC所成的比为p，G分AD所成的比为q．

ppqqBC(PCPB)， AGAD(PDPA) 1p1p1q1qpp1PDPBBDPB(PCPB)PBPC，

1p1p1pqp1(PBPCPA) 于是，PGPAAGPA1q1p1pqpq1PAPBPC =

1q(1q)(1p)(1q)(1p)qpq111， 因PG(a+b+c)，故

1q(1q)(1p)(1q)(1p)33则BD解得q =2，p = 1，于是G为△ABC的重心．