数值分析课后答案09

41321141 1.已知矩阵A1230,A214110314试用格希哥林圆盘确定A的特征值的界。 解：(1)33,

2.设x(x1,x2,...,x3)T是矩阵A属于特征值的特征向量，若x试证明特征值的估计式aii(2)42,

xi，

aj1jinij.

解：Ax由 xx,AxxxiAx

xi 得 ai1x1aiixiainxnxi

(aii)xiai1ijnijxj

aiixiai1ijnijxjai1ijnijxj

aiiaiji1ijnxjxiaij

i1ijn

232(0)T3.用幂法求矩阵 A1034 的强特征值和特征向量，迭代初值取y(1,1,1)。

361解：y=[1,1,1]';z=y;d=0;

A=[2,3,2;10,3,4;3,6,1]; for k=1:100 y=A*z;

[c,i]=max(abs(y)); if y(i)<0,c=-c;end

z=y/c

if abs(c-d)<0.0001,break; end d=c end

Tz(1)(0.4118 1.0000 0.5882), c1 = 17(2)Tz(0.5280 1.0000 0.8261), c2= 9.4706(3)z( 0.4928 1.0000 0.7260 )T, c3= 11.5839Tz(4)(0.5020 1.0000 0.7574), c4= 10.8316(5)Tz(0.4995 1.0000 0.7478), c5= 11.04981Tz(6)(0.5001 1.0000 0.7506), c6=10.9859 (7)Tz(0.5000 1.0000 0.7498), c7= 11.0040(8)Tz(0.5000 1.0000 0.7500), c8=10.9989(9)Tz(0.5000 1.0000 0.7500), c9= 11.0003(10)Tz(0.5000 1.0000 0.7500), c10= 10.9999Tz(11)(0.5000 1.0000 0.7500), c11=11.0000T强特征值为11，特征向量为(0.5000。 1.0000 0.7500)

6214.用反幂法求矩阵A231 最接近6的特征值和特征向量，迭代初值取 111y(0)(1,1,1)T。

解：y=[1,1,1]';z=y;d=0;

A=[6,2,1;2,3,1;1,1,1]; for k=1:100 AA=A-6*eye(3); y=AA\\z;

[c,i]=max(abs(y)); if y(i)<0,c=-c;end z=y/c;

if abs(c-d)<0.0001,break; end d=c end d=6+1/c

z(1)z(2)z(3)z(4)z(5)z(6)z(7)z(8)z(9)T(1.0000 0.4000 0.1000), c1 = 1.1111T(1.0000 0.5714 0.2857), c2 =0.7000( 1.0000 0.5066 0.2303 )T, c3= 0.8042T(1.0000 0.5286 0.2457), c4= 0.7675T(1.0000 0.5210 0.2411), c5= 0.7794

T(1.0000 0.5236 0.2425), c6=0.7754T(1.0000 0.5227 0.2421), c7= 0.7767T(1.0000 0.5230 0.2422), c8=0.7763T(1.0000 0.5229 0.2422), c9= 0.7764T最接近6的特征值为6+1/c=7.2880，特征向量为(1.0000。 0.5229 0.2422)5.设ARnn非奇异，A的正交分解为A=QR，作逆序相乘A1=RQ，试证明

（1） 若A对称则A1也对称；

（2） 若A是上Hessenberg阵，则A1也是上Hessenberg阵。 证明：（1）AQR,A1RQQ1AQQTAQ，

TA1QTATQQTAQA1,A1对称

（2）A是上Hessenberg阵，用Givens变换对A作正交分解，即

R(n1,n)R(2,3)R(1,2)AR,QTR(n1,n)R(2,3)R(1,2)

A1QTAQR(n1,n)R(2,3)R(1,2)ART(1,2)RT(n1,n)显然A1也是上Hessenberg阵。

6.设矩阵A11 12（1）任取一非零向量作初始向量用幂法作迭代，求A的强特征值和特征向量；

（2）用QR算法作一次迭代，求A的特征值；

（3）用代数方法求出A的特征值和特征向量，将结果与（1）和（2）的结果比较。 解：（1）

z(1)z(2)z(3)z(4)z(5)z(6)T(0.6667 1.0000), c1 = 3T(0.6250 1.0000), c2 =2.6667( 0.6190 1.0000 )T, c3= 2.6250 T(0.6182 1.0000), c4= 2.6190T(0.6181 1.0000), c5=2.6182 T(0.6180 1.0000), c6=2.6181A的强特征值为2.6181，特征向量为(0.6180 1.0000) （2）for i=1:10 [Q,R]=qr(A); A=R*Q end

T -0.5000 0.0769 -0.0112,A2.6154,A2.6180A12.500023 0.5000 0.3846 0.3820-0.50000.0769 -0.0112 0.0016 -0.0002 0.0000,A2.6180,A2.6180A42.618056 0.3820 0.3820 0.38200.0016 -0.00020.0000 A的特征值为2.6180，0.3820

1（3）A-I11231，特征值1,21.50.55 2特征向量(0.50.55,1)T

1207. 设矩阵A021 111（1）用Householder变换化A为对称三对角阵A1。 （2）用平面旋转阵对A1进行一步QR迭代计算出A2。

(1)1,Hxy(1,0)T,uxy(1,1)T, 解：（1）x1002 1 0uuT0 1H2I2T,H001,HAH1 1 -1

1 0uu0 -1 2010 0.4899 -0.00002.6000(2) A20.4899 2.4000 -0.0000,

0 -0.0000 -0.0000 

8. 用带位移的QR方法计算下列矩阵的全部特征值。

421,(2)A(1)A010023解：（1）for k=1:20 p=A(3,3);

AA=A-p*eye(3); [Q,R]=qr(AA); A=R*Q+p*eye(3) end

310121 011 -0.7071 2.12134.0000A1 0 1.0000 2.0000,

0 0 3.0000 全部特征值为 4 , 1 , 3 (2)

0.4899 0.0000 0.0993 0.00003.60003.7263A10.4899 1.7333 0.7454 2.0057 0.0072,A30.0993,0 0.7454 0.66670 0.0072 0.2680   0.0249 0.0000 0.0062 0.00003.73173.7320A50.0249 2.0004 -0.0000 2.0000 -0.0000,A7 0.0062,0 0.0000 0.26790 0.0000 0.2679   0.0016 0.0000 0.0004 0.00003.73203.7321A90.0016 2.0000 -0.0000 2.0000 -0.0000,A110.0004,0 0 0.26790 0 0.2679   0.0001 0.0000 -0.0000 -0.00003.73213.7321A130.0001 2.0000 -0.0000 2.0000 -0.0000,A14-0.0000,0 0 0.26790 0 0.2679  全部特征值为 3.7321, 2.0, 0.2679

9. 设ARnn

，且已知其强特征值1和对应的特征向量x(1)，

（1）证明：若构造Householder阵H使Hx(1)ke1（常数k0,e1(1,0,...,0)TRn），则必有HAH其中A1R10x A1,xR1(n1)，且A的其余n-1个特征值就是A1的特征值。

(n1)(n1)32(1)T（2）以A为例，已知14,x(2,1)，用以上方法构造H阵，并求出A32的第二个特征值2。 解：（1）Ax(1)1x(1),构造Householder阵H使Hx(1)ke1

HAx(1)1Hx(1)1ke1, HAH(Hx(1))HAH(ke1)1ke1,HAHe11e1,

101即HAH的第一列为, HAH00(1)（2）x, A15,Hxy(5,0)T,uxy(25,1)T,

uuT0.8944 0.4472,HAH4.0000 1.0000

HI2T -0.8944 -3.0000 0.4472 0.0000uuA的第二个特征值2为 -3。

10.对以下的实对称阵用QR方法求其全部特征值。

310411,(2)A132

(1)A142021123解：（1）

0.0040 0.0000 0.0010 0.00005.34655.3465A10.0040 2.7223 0.0000,A30.0010 2.7222 0.0000,0 0.0000 -0.06870 0.0000 -0.0687   0.0003 0.0000 0.0001 0.00005.34655.3465A50.0003 2.7222 0.0000,A70.0001 2.7222 0.0000,

0 0.0000 -0.06870 0.0000 -0.0687   0.0000 -0.00005.3465A8 0.0000 2.7222 -0.0000,0 0.0000 -0.0687 全部特征值为 5.3465, 2.722, -0.0687 （2）

-1.3765 -0.3244 -0.5141 -0.01125.00005.9091A1 -1.3765 3.8421 0.6699,A3 -0.5141 3.0899 0.0454, 0.6699 1.1579 0.0454 1.0010 -0.3244 -0.0112 -0.1323 -0.0003 -0.0331 -0.00005.9942 5.9996A5 -0.1323 3.0058 0.0048,A7 -0.0331 3.0004 0.0005, 0.0048 1.0000 0.0005 1.0000 -0.0003 -0.0000 -0.0083 -0.0000 -0.0021 -0.00006.00006.0000A9 -0.0083 3.0000 0.0001,A11 -0.0021 3.0000 0.0000,

 0.0001 1.0000 0.0000 1.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0005 -0.0000 -0.0001 -0.00006.00006.0000A13 -0.0005 3.0000 0.0000,A15 -0.0001 3.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 1.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0001 0.0000 -0.0000 -0.00006.00006.0000A16 -0.0001 3.0000 -0.0000 3.0000 0.0000,A17-0.0000 -0.0000 1.0000 0.0000 1.00000 0.0000-0.0000全部特征值为 6, 3, 1