中考数学 整式乘法与因式分解易错压轴解答题(及答案)

一、整式乘法与因式分解易错压轴解答题

1．若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数，完全平方数是非负数.例如：0＝02 ， 1＝12 ， 4＝22 ， 9＝32 ， 16＝42 ， 25＝52 ， 36＝62 ， 121＝112…. （1）若28+210+2n是完全平方数，求n的值.

（2）若一个正整数，它加上61是一个完全平方数，当减去11是另一个完全平方数，写出所有符合的正整数.

2．（探究）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）

（1）通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式________.（用含a，b的等式表示）

（2）（应用）请应用这个公式完成下列各题：

①已知4m2＝12+n2 ， 2m+n＝4，则2m﹣n的值为________. ②计算：20192﹣2020×2018.________

（3）（拓展）计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12. 3．如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为(a+b+c)的正方形

（1）若用不同的方法计算这个边长为(a+b+c)的正方形面积，就可以得到一个等式，这个等式可以为 ________ .(只要写出一个即可) （2）请利用(1)中的等式解答下列问题:

①若三个实数a，b，c满足a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值 ②若三个实数x，y，z满足2x×4y÷8z= ，x2+4y2+9z2=44，求2xy-3xz-6yz的值 4．【阅读与思考】

整式乘法与因式分解是方向相反的变形.如何把二次_一项式ax2+bx+c进行因式分解呢?我们已经知道，(a1x+c1)(a2x+c2)=a1a2x2+a1c2x+a2c1x+c1c2=a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2.反过来，就得到：

a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2=(a1x+c1)(a2x+c2).

我们发现，二次项的系数a分解成a1a2 ， 常数项c分解成c1c2 ， 并且把a1 ， a2 ， c1 ， c2 ， 如图①所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到a1c2+a2c1 ， 如果a1c2+a2c1的值正好等于ax2+bx+c的一次项系数b，那么ax2+bx+c就可以分解为(a1x+c1)(a2x+c2)，其中a1 ， c1位于图的上一行，a2 ， c2位于下一行.

像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”.

例如，将式子x2-x-6分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1=1×1，把常数项-6也分解为两个因数的积，即-6=2×（-3)；然后把1，1，2，-3按图②所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1×(-3)+1×2=-1，恰好等于一次项的系数-1，于是x2-x-6就可以分解为(x+2)(x-3).

（1）请同学们认真观察和思考，尝试在图③的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式：x2+x-6=________. （2）【理解与应用】

请你仔细体会上述方法，并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： Ⅰ.2x2+5x-7=________； Ⅱ.6x2-7xy+2y2=________ . （3）【探究与拓展】

对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的关于x，y的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解.如图④，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np=b，pk+qj=e，mk+nj=d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式=(mx+py+j)(nx+qy+k)，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：

Ⅰ.分解因式3x2+5xy-2y2+x+9y-4=________ .

Ⅱ.若关于x，y的二元二次式x2+7xy-18y2-5x+my-24 可以分解成两个一次因式的积，求m的值.________

Ⅲ.己知x，y为整数，且满足x2+3xy+2y2+2x+3y=-1，请写出一组符合题意的x，y的值.________ 5．阅读下列材料:

对于多项式x2+x-2，如果我们把x=1代入此多项式，发现x2+x-2的值为0，这时可以确定多项式中有因式(x-1):同理，可以确定多项式中有另一个因式(x+2)，于是我们可以得到:x2+x-2=(x-1)(x+2)

又如:对于多项式2x2-3x-2，发现当x=2时，2x2-3x-2的值为0，则多项式2x2-3x-2有一个因

式(x-2)，我们可以设2x2-3x-2=(x-2)(mx+n)，解得m=2，n=1，于是我们可以得到:2x2-3x-2=(x-2)(2x+1)

请你根据以上材料，解答以下问题:

（1）当x=________时，多项式6x2-x-5的值为0，所以多项式6x2-x-5有因式________ ，从而因式分解6x2-x-5=________.

（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，常用来分解一些比较复杂的多项式.请你尝试用试根法分解多项式:①2x2+5x+3;②x3-7x+6

（3）小聪用试根法成功解决了以上多项式的因式分解，于是他猜想:

代数式(x-2)3-(y-2)3-(x-y)3有因式________ ， ________ ， ________ ，所以分解因式(x-2)3-(y-2)3-(x-y)3= ________。

6．上数学课时，王老师在讲完乘法公式(a±b)2=a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值?同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：

解：x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2)2+1 ∵(x+2)2≥0

∴当x=-2时，(x+2)2的值最小，最小值是0， ∴(x+2)2+1≥1

∴当(x+2)2=0时，(x+2)2+1的值最小，最小值是1， ∴x2+4x+5的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题

（1）知识再现：当x=________时，代数式x2-6x+12的最小值是________；

（2）知识运用：若y=-x2+2x-3，当x=________时，y有最________值（填“大”或“小”） （3）知识拓展：若-x2+3x+y+5=0，求y+x的最小值 7．观察下列一组等式，然后解答后面的问题

， ，

，

（1）观察以上规律，请写出第 个等式：________ 为正整数）． （2）利用上面的规律，计算： （3）请利用上面的规律，比较

与

的大小．

8．效学活动课上老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．

（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积． 方法1：________， 方法2：________；

（2）观察图2，请你写出代数式：（a+b）2 ， a2+b2 ， ab之间的等量关系________； （3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：a+b=5，a2+b2=13，求ab的值；

②已知（2019-a）2+（a-2018）2=5，求（2019-a）（a-2018）的值．

9．借助图形直观，感受数与形之间的关系，我们常常可以发现一些重要结论． 初步应用

（1）①如图1，大长方形的面积可以看成4个小长方形的面积之和，由此得到多项式乘多项式的运算法，则________（用图中字母表示）

②如图2，借助①，写出一个我们学过的公式：________（用图中字母表示） （2）深入探究

仿照图2，构造图形并计算（a+b+c）2 （3）拓展延伸

借助以上探究经验，解决下列问题：

①代数式（a1+a2+a2+a3+a4+a5）2展开、合并同类项后，得到的多项式的项数一共有________项；

②若正数x、y、z和正数m、n、p，满足x+m=y+n=z+p=t，请通过构造图形比较px+my+nz与t2的大小（画出图形，并说明理由）；

③已知x、y、z满足x+y+z=2m，x2+y2+z2=2n，xyz=p，求x2y2+y2z2+x2z2的值（用含m、n、P的式子表示）

10．如图所示，图甲由长方形①，长方形②组成，图甲通过移动长方形②得到图乙．

（1）S甲=________，S乙=________（用含a、b的代数式分别表示）； （2）利用（1）的结果，说明a2、b2、（a+b）（a﹣b）的等量关系；

（3）现有一块如图丙尺寸的长方形纸片，请通过对它分割，再对分割的各部分移动，组成新的图形，画出图形，利用图形说明（a+b）2、（a﹣b）2、ab三者的等量关系． 11．认真阅读材料，然后回答问题：

我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：（a+b）1=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2 ， （a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3 ， … 下面我们依次对（a+b）n展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式：

上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：

（1）多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数； （2）请你预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和．

（3）结合上述材料，推断出多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和为S，（结果用含字母n的代数式表示）．

12．著名的瑞士数学家欧拉曾指出：可以表示为四个整数平方之和的甲、乙两数相乘，其乘

积

仍

然

可

以

表

示

为 四

个

整

数

平

方

之

和

，

即

，这就是著名的欧拉恒等

式，有人称这样的数为“不变心的数”．实际上，上述结论可概括为：可以表示为两个整数平方之和的甲、乙两数相乘，其乘积仍然可以表示为两个整数平方之和．

【阅读思考】

在数学思想中，有种解题技巧称之为“无中生有”．例如问题：将代数式 改

成

两

个

平

方

之

差

的

形

式

． ﹒

解

：

原

式

（1）【动手一试】试将 （22+72）=________；

改成两个整数平方之和的形式． （12+52）

（2）【解决问题】请你灵活运用利用上述思想来解决“不变心的数”问题：将代数式

改成两个整数平方之和的形式（其中a、b、c、d均为整数），并给出

详细的推导过程﹒

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、整式乘法与因式分解易错压轴解答题

1．（1）解：∵a2+b2+2ab＝（a+b）2 ， ∴若28＝a2 ， 210＝b2 ，

则a＝24 ， b＝25 ， 2n＝2ab＝210 ， 解得：n＝10 若28＝a2

解析： （1）解：∵a2+b2+2ab＝（a+b）2 ， ∴若28＝a2 ， 210＝b2 ，

则a＝24 ， b＝25 ， 2n＝2ab＝210 ， 解得：n＝10 若28＝a2 ， 210＝2ab， 所以b＝25 ， 则2n＝b2＝210 ， 解得：n＝10， 若210＝a2 ， 28＝2ab， 所以b＝22 ， 则2n＝b2＝24 ， 解得：n＝4， 所以n＝4或n＝10；

（2）解：设正整数为x，则x+61＝a2 ， x﹣11＝b2（a＞b，且a，b是正整数）， 则a2﹣b2＝x+61﹣x+11＝72， 故（a+b）（a﹣b）＝72， 由于a+b与a﹣b同奇偶， 故 当

或 时,

或者

，

解得：

，

∴x＝b2+11＝60； 当

时，

解得：

，

∴x＝b2+11＝300； 当

时，

解得：

，

∴x＝b2+11＝20.

所以所有符合的正整数是20、60或300.

【解析】【分析】（1）直接利用a²+2ab+b²=(a+b) ²,分别使每一项与公式对应即分3种情况求出n的值即可；（2）根据题意，设正整数为x,则x+61=a²,x-11=b²,进而得出关于a,b的等式，再分别讨论求出答案即可.

2．（1）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2

（2）3；解：20192﹣2020×2018 ＝20192﹣（2019+1）×（2019﹣1） ＝20192﹣（20192﹣1） ＝20192﹣20

解析： （1）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （2）3；解：20192﹣2020×2018 ＝20192﹣（2019+1）×（2019﹣1） ＝20192﹣（20192﹣1） ＝20192﹣20192+1 ＝1

（3）解：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12

＝（100+99）×（100﹣99）+（98+97）×（98﹣97）+…+（4+3）×（4﹣3）+（2+1）×（2﹣1）

＝100+99+98+97+…+4+3+2+1 ＝5050

【解析】【解答】解：（1）探究：图1中阴影部分面积a2﹣b2 ， 图2中阴影部分面积（a+b）（a﹣b），

所以，得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 故答案为（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2.

（2）应用：①由4m2＝12+n2得，4m2n2＝12

﹣

∵（2m+n）•（2m+n）＝4m2n2

﹣

∴2m﹣n＝3

故答案为3.

【分析】探究：将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可；

应用：①利用平方差公式得出（2m+n）•（2m+n）＝4m2n2 ， 代入求值即可；②可将2020×2018写成（2019+1）×（2019﹣1），再利用平法差公式求值；

拓展：利用平方差公式将1002﹣992写成（100+99）×（100﹣99），以此类推，然后化简求值.

﹣

3．（1）(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac （2）解：①∵(a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac 且a+b+c=11， ab+bc+ac=38 ∴a

解析： （1）(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac （2）解：①∵(a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac 且a+b+c=11， ab+bc+ac=38 ∴a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ac) =112-2×38 =45

②∵2x×4y÷8z= 2x×22y÷23z=2-2 ∴2x+2y-3z=2-2 ∴x+2y-3z=-2

∵(x+2y-3z)2=x2+4y2+9z2+2(2xy-3xz-6yz) ∴(-2) 2=44+2(2xy-3xz-6yz) ∴2xy-3xz-6yz=-20

【解析】【分析】（1）根据边长为(a+b+c)的正方形面积=边长为a的正方形的面积+边长为b的正方形的面积+边长为c的正方形的面积之和，再加上边长分别为a、b的长方形的面积+边长分别为a、c的长方形的面积+边长分别为c、b的长方形的面积，列式计算即可。 （2）①将（1）中的结论转化为a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ac)，再整体代入求值；②利用幂的运算性质，将 2x×4y÷8z= 转化为 x+2y-3z=-2，再利用完全平方公式可得到(x+2y-3z)2=x2+4y2+9z2+2(2xy-3xz-6yz)，再整体代入计算可求出2xy-3xz-6yz的值。

4．（1）(x+3)(x-2)

（2）(x-1)(2x+7)；(2x-y)(3x-2y) （3）(x+2y-1)(3x-y+4)；解：如图，

∵关于x，y的二元二次式x2+7xy-18y2-

解析： （1）(x+3)(x-2) （2）(x-1)(2x+7)；(2x-y)(3x-2y) （3）(x+2y-1)(3x-y+4)；解：如图，

∵关于x，y的二元二次式x2+7xy-18y2-5x+my-24可以分解成两个一次因式的积， ∴存在其中1×1=1，9×(-2)=-18，(-8)×3=--24； 而7=1×(-2)+1×9，-5=1×(-8)+1×3，

∴m=9×3+(-2)×(-8)=43或m=9×(-8)+(-2)×3=-78. 故m的值为43或者-78. ；x=-1，y=0(答案不唯一)

【解析】【解答】（1） 将式子x 2 -x-6分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1=1×1，把常数项-6也分解为两个因数的积，即-6=3×（-2)；然后把1，1，3，-2按下图所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1×(+3)+1×(-2)=-1，恰好等于一次项的系数1，于是x 2+ x-6就可以分解为(x+3)(x-2).

（2）根据基本原理，同样得出十字交叉图： Ⅰ. II.

∴ 2x2+5x-7= (x-1)(2x+7), 6x2-7xy+2y2=(2x-y)(3x-2y);

（3） Ⅰ. 根据 ax2+bxy+cy2+dx+ey+f 分解因式的基本原理得如图所示的双十字交叉图：

所以 3x2+5xy-2y2+x+9y-4= (x+2y-1)(3x-y+4) ； Ⅱ

如图：x2+7xy-18y2-5x+my-24可以分解成(x-2y+3)(x+9y-8),或分解成：(x-2y-8)(x+9y+3), 所以m=43或-78.

III.x2+3xy+2y2+2x+3y=-1, 得 x2+3xy+2y2+2x+3y+1=0,

如图所示：得(x+2y+1)(x+y+1)=0，∴ x+2y+1=0，或x+y+1=0， 或 x+2y+1=0且x+y+1=0 ∴如当x=-1时，y=0,或x=3,y=-4等均可使上式成立。

【分析】（1）根据题给基本原理分步解答，即左侧相乘等于二次项，右侧相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于中间项，最终得出如图所示的十字交叉结果。 （2）根据十字相乘法的原理画出十字相乘图，就能得出分解因式的结果。

（3）I.对于双十字相乘法，同样也模仿十字相乘法根据其基本原理，分步解答，画出双十字交叉图，根据原理验证各项系数，得出因式分解的结论。

II.y项系数不定，先根据双十字相乘法画出双十字相乘图，在满足其他项系数前提下，再算m项系数。

III.先根据双十字相乘原理分解因式，要使二元二次式等于零，只要一个因式等于即可，所以符合条件的答案不唯一。

5．（1）1；x-1；(x-1)(6x+5) （2）解：①2x2+5x+3=(x+1)(2x+3) ②x3-7x+6=(x-1)(x-2)x+3)

（3）x-2；y-2；x-y；(x-2)2-(

解析： （1）1；x-1；(x-1)(6x+5) （2）解：①2x2+5x+3=(x+1)(2x+3) ②x3-7x+6=(x-1)(x-2)x+3)

（3）x-2；y-2；x-y；(x-2)2-(y-2)3-(x-y)3=3(x-2)(y-2)(x-y)

【解析】【分析】（1）根据阅读材料可知当x=1时多项式6x2-x-5的值为0，从而可得到多项式6x2-x-5的一个因式为（x-1）即可将此多项式分解因式。

（2）将x=-1代入2x2+5x+3，可知其值为0，因此可将此多项式分解因式；将x=1代入 x3-7x+6，可知 x3-7x+6=0，再将x=2代入，可知x3-7x+6=0，从而可将其多项式进行分解因式。

（2）利用试根法 ，将已知多项式进行分解因式即可。

6．（1）3；3 （2）1；-2

（3）解：∵-x2+3x+y+5=0， ∴x+y=x2-2x-5=(x-1)2-6， ∵(x-1)2≥0 ∴(x-1)2-6≥-6

∴当x=1时，y+x的最小值为

解析： （1）3；3 （2）1；-2

（3）解：∵-x2+3x+y+5=0， ∴x+y=x2-2x-5=(x-1)2-6， ∵(x-1)2≥0 ∴(x-1)2-6≥-6

∴当x=1时，y+x的最小值为-6．

【解析】【解答】解：(1)∵x2-6x+12=(x-3)2+3， ∴当x=3时，有最小值3： ( 2 )∵y=-x2+2x-3=-(x-1)2-2， ∴当x=1时有最大值-2

【分析】（1）把代数式 x2-6x+12根据完全平方公式配方，由配方的结果：(x-3)2+3，得(x-3)2≥0，当(x-3)2=0，即x=3时，求得 x2-6x+12最小值为3；

（2）把y=-x2+2x-3配方，由配方的结果：-(x-1)2-2，得-(x-1)2≤0，则当-(x-1)2=0，即x=1时，y有最大值为-2；

（3）首先移项，求出 y+x 的表达式，再把此表达式配方，根据配方的结果，因为 (x-1)2≥0 ，得出x=1, y+x有最小值-6即可.

7．（1）(n+1+n)(n+1-n)=1 （2）解：原式 （3）解： ， ， 119+18<118+17 ， ．

【解析】【解答】解：（1）根据题意得：第 n 个等式为 (n

解析： （1）（2）解：原式 （3）解：

，

，

，

．

个等式为

【解析】【解答】解：（1）根据题意得：第

；

故答案为：

；

【分析】（1）根据已知等式，可得第 个等式为

（2）利用分母有理化先化简，然后根据二次根式的加减计算即得； （3）先求出

的大小，从而得出结论.

8．（1）（a+b）2；a2+b2+2ab （2）（a+b）2=a2+b2+2ab

（3）解：①∵（a+b）2=a2+b2+2ab， ∴25=13+2ab， ∴ab=6；

②∵（a+b）2=a2+

解析： （1）（a+b）2；a2+b2+2ab （2）（a+b）2=a2+b2+2ab

（3）解：①∵（a+b）2=a2+b2+2ab， ∴25=13+2ab， ∴ab=6；

②∵（a+b）2=a2+b2+2ab，

∴[（2019-a）+（a-2018）]2=（2019-a）2+（a-2018）2+2（2019-a）（a-2018）， 即1=5+2（2019-a）（a-2018）， ∴（2019-a）（a-2018）=-2．

【解析】【解答】解：方法1：S=（a+b）2 ， 方法2：S=a2+b2+2ab；

故答案为（a+b）2 ， a2+b2+2ab；（2）由面积相等，可得（a+b）2=a2+b2+2ab； 故答案为（a+b）2=a2+b2+2ab

【分析】（1）正方形面积可以从整体直接求，还可以是四个图形的面积和；（2）由同一图形面积相等即可得到关系式；（3）根据（a+b）2=a2+b2+2ab，将所给条件代入即可求解

9．（1）（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd；（a+b）2=a2+2ab+b2 （2）解：已知大正方形的边长为a+b+c，

利用图形3的面积关系可得：（a+b+c）2=a2+b2+c

解析： （1）（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd；（a+b）2=a2+2ab+b2 （2）解：已知大正方形的边长为a+b+c，

利用图形3的面积关系可得：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac． （3）①15

②如图4，由图形得：px+my+nz＜t2；

③∵x+y+z=2m，

∴x2+y2+z2+2xz+2xy+2yz=4m2 ， ∵x2+y2+z2=2n， ∴2xz+2xy+2yz=4m2-2n， ∵xz+xy+yz=2m2-n，

∴（xz+xy+yz）2=x2y2+y2z2+x2z2+2x2yz+2y2xz+2z2xy=（2m2-n）2 ，

∴x2y2+y2z2+x2z2=4m4-4m2n+n2-2xyz（x+y+z）=4m4-4m2n+n2-2p•2m=4m4-4m2n+n2-4pm． 【解析】【解答】解：（1）①如图1，得（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd， ②如图2，由②得：（a+b）2=a2+2ab+b2 ，

故答案为①（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd，②（a+b）2=a2+2ab+b2； （ 3 ）①（a1+a2）2=a12+a22…2项 +2a1a2….1项

所以一共有2+1=3项； （a1+a2+a3）2=a12+a22+a32…3项 +2a1a2+2a1a3…2项 +2a2a3…1项

所以一共有3+2+1=6项；

（a1+a2+a3+a4）2=a12+a22+a32+a42…4项 +2a1a2+2a1a3+2a1a4…3项 +2a2a3+2a2a4…2项 +2a3a4…1项

所以一共有4+3+2+1=10项；

（a1+a2+a3+a4+a5）2=a12+a22+a32+a42+a52…5项 +2a1a2+2a1a3+2a1a4+2a1a5…4项 +2a2a3+2a2a4+2a2a5…3项 +2a3a4+2a3a5…2项 +2a4a5…1项

所以一共有5+4+3+2+1=15项； 故答案为15；

【分析】（1）①根据长方形的面积可得结论；②图中大正方形的面积可以用正方形的面积公式来求，也可把正方形分成四个小图形分别求出面积再相加，从而得出（a+b）

2=a2+2ab+b2；（2）直接作图即可得出（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac

成立；（3）①分

别计算两个数的平方，三个数的平方，…，得出规律即可求出答案；②画图4可得结论；③先将x+y+z=2m两边同时平方得：xz+xy+yz=2m2-n，继续平方后化简可得结论．

10．（1）（a+b）（a-b） ；a2-b2

（2）由两个图形的面积相等可知，（a+b）（a-b）=a2-b2。 （3）

S正方形=（a+b）2 ， S正方形=（a-b）2+4ab ∴（a+b）

解析： （1）（a+b）（a-b） ；a2-b2

（2）由两个图形的面积相等可知，（a+b）（a-b）=a2-b2。 （

3

）

S正方形=（a+b）2 ， S正方形=（a-b）2+4ab ∴（a+b）2=（a-b）2+4ab

【解析】【分析】（1）根据图形的面积。列式得到答案即可； （2）根据两组图案所表示的面积相等，即可得到等量关系； （3）同理，首先根据面积列出两种方式表示的面积，得到答案即可。

11．（1）解：∵当n=1时，多项式（a+b）1的展开式是一次二项式，此时第三项的系数为：0= ，

当n=2时，多项式（a+b）2的展开式是二次三项式，此时第三项的系数为：1= ，

当n=3时，多项

解析： （1）解：∵当n=1时，多项式（a+b）1的展开式是一次二项式，此时第三项的系数为：0=

，

， ， ，

当n=2时，多项式（a+b）2的展开式是二次三项式，此时第三项的系数为：1= 当n=3时，多项式（a+b）3的展开式是三次四项式，此时第三项的系数为：3= 当n=4时，多项式（a+b）4的展开式是四次五项式，此时第三项的系数为：6= …

∴多项式（a+b）n的展开式是一个n次n+1项式，第三项的系数为： （2）解：预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和为：2n

（3）解：∵当n=1时，多项式（a+b）1展开式的各项系数之和为：1+1=2=21 ， 当n=2时，多项式（a+b）2展开式的各项系数之和为：1+2+1=4=22 ， 当n=3时，多项式（a+b）3展开式的各项系数之和为：1+3+3+1=8=23 ， 当n=4时，多项式（a+b）4展开式的各项系数之和为：1+4+6+4+1=16=24 ， …

∴多项式（a+b）n展开式的各项系数之和：S=2n

【解析】【分析】由杨辉三角形的规律，得到多项式（a+b）n的展开式是一个n次n+1项式；由规律得到多项式（a+b）n展开式的各项系数之和；根据题意当n=1时，n=2时···，得到多项式（a+b）n展开式的各项系数之和.

12．（1）(12+52)(22+72)=32+372

（2）解： (a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad-bc)2 ，证明如下：

(a2+b2)(c2+d2) =(a2c2

解析： （1）（2）解：

，证明如下：

【解析】【分析】（1）根据欧拉公式即可得出答案。

（2）根据欧拉公式再利用完全平方公式的性质进行证明即可得出答案；由题意可设m=a2+b2 ，2+d2 ，求出mn的乘积，从而发现规律．

n=c