幂函数图象及其性质

幂函数的图像与性质

例题、(1). 下列函数中不是幂函数的是（

）

31y2xyxyxyxA．　　　B．　　C．　　　D．

答案：C

例2．已知函数fxm2m1x5m3，当 m为何值时，fx：

（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是0,上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数；

变式训练：已知函数fxmmx2的图像是上升曲线。

小结与拓展：要牢记幂函数的定义，列出等式或不等式求解。2.幂函数的图像

幂函数y＝xα的图象由于α的值不同而不同．

α的正负：α＞0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α＜0，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立；

2mm0简解：解得：m,13,

2m2m30 m22m3，当 m为何值时，fx在第一象限内它

简解：（1）m2或m1（2）m1（3）m42（4）m（5）m155 1

Where there is a will,there is a way.

1、幂函数的定义

形如y=xα（a∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数

注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。

幂函数图象及其性质

注：在上图第一象限中如何确定y=x3，y=x2，y=x，yx，y=x-1方法：可画出x=x0；

being12eir当x0>1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x3，y=x2， y=x，yx， y=x-1；

3、幂函数的性质

y=x

y=x2

gs in th当0y=x3

yxll thin定义域值域奇偶性单调性

RR奇增

RRR奇

[0，）[0，）非奇非偶增

ar121212[0，）偶

Andx∈[0，）时，增；增x∈(,0]时，减

m定点

e a（1，1）

例2．比较大小：（1）1.5,1.7

121233112(1.2),(1.25)5.25,5.26,5.26（2）（3）（4）

0.53,30.5,log30.5e gy=x-1

oox|xR且x0y|yR且y0奇

x∈(0,+)时，减；x∈(-,0)时，减

d fWhere there is a will,there is a way.

2

or so幂函数图象及其性质

12解：（1）∵yx在[0,)上是增函数，1.51.7，∴1.51.7

333yx(1.2)(1.25)1.21.25R（2）∵在上是增函数，，∴111yx（3）∵在(0,)上是减函数，5.255.26，∴5.255.26；x12y5.265.265.2612∵是增函数，，∴；

1212综上，5.2515.2615.262

30.530.5log0.50log0.50.533300.5131（4）∵，，，∴

5.幂函数的性质及其应用

幂函数y＝xα有下列性质：(1)单调性：当α＞0时，函数在(0，＋∞)上单调递增；当

有非奇非偶函数，可以用函数奇偶性的定义进行判断．

myx例3．已知幂函数

2m3（mZ）的图象与x轴、y轴都无交点，且关于原点对称，

∴m2m3是奇数，∴m0或m2．

1例7.已知点(2（2)在幂函数f(x)的图象上，点2（，在幂函数g(x)的图象上．问当x

42为何值时有：（１）f(x)g(x)；（２）f(x)g(x)；（３）f(x)g(x)．变式：已知幂函数f(x)=xm2 ∵mZ，∴(m2m3)Z，又函数图象关于原点对称，

2∴m2m30，∴1m3；

22m3 解：∵幂函数yxm22m3（mZ）的图象与x轴、y轴都无交点，

（m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调减函数.

b的奇偶性.xf（x（（1）求函数f(x);（2）讨论F（x）=af（x（ 6.规律方法

（1）．幂函数y＝xα(α＝0,1)的图象

求m的值．

2 α＜0时，函数在(0，＋∞)上单调递减．(2)奇偶性：幂函数中既有奇函数，又有偶函数，也

3

Where there is a will,there is a way.

幂函数图象及其性质

（2）.幂函数yx(aa常数；注意：幂函数与指数函数的区别．2.性质：

（1）幂函数的图象都过点

nd A例1．概念：一般地，我们把形如

ll things in th的函数称为幂函数，其中

eir being ar是自变量，

是

；任何幂函数都不过

象限；

（2）当a0时，幂函数在[0,)上

；当a0时，幂函数在(0,)上

；

（3）当a2,2时，幂函数是 ；当a1,1,3,1时，幂函数是 3e g．

4

qq的图象,p,qN,为最简分式）ppWhere there is a will,there is a way.

ood for so幂函数图象及其性质

例1、右图为幂函数yx在第一象限的图

像，则a,b,c,d的大小关系是（

(A)abcd(C)abdc(B)badc(D)adcby）

yxaOd foryxbxyxc so解：取x1o2，

ocdba由图像可知：g1111 2222，

abdc，应选(C)．

综合训练：

1．在函数y1x3,y3x2,yx2x,yx0中，幂函数的个数为 ( )A．0 B．1 C．2

D．3

2、幂函数的图象都经过点（ ）

A．（1，1） B ．（0，1）

C．（0，0）

D ．（1，0）

53、幂函数yx2的定义域为（ ）

A．(0,+) B．[0,+) C．R D．(-，0)U (0,+)

4．若幂函数fxxa在(

)

0,上是增函数，则

A．a>0 B．a<0

C．a=0

D．不能确定

6．若幂函数 xxm1在(0，+∞)上是减函数，则

(

)

A．fm>1

B．m<1

C．m=l

D．不能确定

9、若四个幂函数 y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如右图，则

a、b、c、d的大小关系是

（　　）

A、d＞c＞b＞aB、a＞b＞c＞dC、d＞c＞a＞bD、a＞b＞d＞c

Where there is a will,there is a way.

5

幂函数图象及其性质

10、当x∈（1，＋∞）时，函数）y＝x的图象恒在直线y＝x的下方，则a的取值范围是

A、a＜1

二、填空题：12、若(a＋1)－1232aB、0＜a＜1

12C、a＞0D、a＜0

三、解答题：

（1）yx；（2）yx；（3）yx；（4）yx；（5）yx；（6）yx.2312321323（A） （B） （C）

eir（D）

being（E）

A．(1，4) B．[1，4) C．(－∞，1)∪(4，＋∞) D．(－∞，1]∪(4，＋∞)2.（A）以下四个数中的最大者是（ ）

(A) (ln2)2

(B) ln(ln2)

(C) ln2(D) ln2

x12e,x2,5.（B）设f(x)= 则不等式f(x)>2的解集为（ ）2log3(x1),x2,(A)（1，2）（3，+∞） (B)（10，+∞）(C)（1，2） （10 ，+∞） (D)（1，2）6．（A）设Plog23，Qlog32，Rlog2(log32)，则（　　）

Ａ．RQP2a and All thin1—5 ADDDC； 6—10 AADDA； 11—15 CADDB.

1x1．（A）函数f(x)lg的定义域为（ ）

x4Ｂ．PRQ2cgs四：方向预测、胜利在望

inＣ．QRP thＤ．RPQ7．(A)已知log1blog1alog1c，则( )

A．222b B．222

22abcC．222

c （F）

ba D．222cab17下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.

9.（A）函数ylog1(3x2)的定义域是：（ ）

6

13.函数yx的定义域为___________.

Where there is a will,there is a way.

＜(3a－2)－，则a的取值范围是____；

幂函数图象及其性质

22A [1,) B (23,) C [3,1] D (3,1]10.(A)已知函数ylog1x与ykx的图象有公共点A，且点A的横坐标为2，则k（

4）

A．（A）

19．（B）若函数f(x) = 2x22axa1的定义域为R，则a的取值范围为___________.

16. (-, 3)(3,4) 18.

21 19.[-1,0] 20.

22 20．(B)若函数f(x)loga(xx22a2)是奇函数，则a= lg(4x)的定义域是 ____________________________.x3ex,x0.118．（A）设g(x) 则g(g())__________

2lnx,x0.16.（A）函数y．

15．（B）函数y＝lg|x| （ ）

　A．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增　B．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减　C．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增　D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减

43（B）8（C）18（D）

127

14.（A）已知f(x)log2x，那么f(8)等于（ ）

6Where there is a will,there is a way.

有（ ）

A．0a1且b0 B．a1且b0 C．0a1且b0 D．a1且b0 111 C． D．422x11．（B）若函数f(x)ab1(a0且a1)的图象经过第二、三、四象限，则一定

B．

1 4