《高等数学》试题库

一、选择题 1、函数fx1的定义域是（ ）。

lgx5a.,55, b.,66,

c.,44, d.,44,55,66,

2.若fx1xx1，则fx（ ）。

a.xx1 b.x1x2 c.xx1 d.不存在

3、下列函数不是复合函数的有（ ）。

12x d.yea.y b.y1x c.ylgsin2

4、设f(x)x1 ，则f(f(x)1)=（ ）．

x1sinx

A． x B．x + 1 C．x + 2 D．x + 3

22、若函数f(x)的定义域为(0,1)则函数f(lnx+1)的定义域是( )

-1-1

A.(0，1) B.(-1，0) C.(e，1) D. (e，e)

5、函数yxsinx是（ ） 21xA.偶函数 B.奇函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数

（二）极限与连续

1、当x时，arctgx的极限（ ）。 a、

2、当x0时，下列变量中是无穷小量的有（ ）。 a、sin

2 b、

2

c、 d、不存在，但有界

1sinxx b、 c、21 d、lnx xx4、limsinx1（ ）。 x1x211 2a、1 b、2 c、0 d、

5、下列等式中成立的是（ ）。

12a、lim1e b、lim1nnnn11c、lim1e d、lim1nn2nn

nnn2e

2ne

6、函数fx在点x0处有定义，是fx在该点处连续的（ ）。 a、充要条件 b、充分条件 c、必要条件 d、无关的条件

ex, x0f(x), 若limf(x)x0axb , x07、设存在, 则必有( ) .

(A) a = 0 , b = 0 (B) a = 2 , b = －1 (C) a = －1 , b = 2 (D)a 为任意常数, b = 1

8、当x —>0 时，( )是与sin x等价的无穷小量.

1ln(12x) (A) tan2 x (B) x (C)2 (D) x (x+2)

10、limsinx（ ）

x2xA.1 B.0 C.1/2 D.2

x2sin11、limx0sinx1x的值为（ ）.

（A）1 （B） （C）不存在 （D）0

12、limxsinx1（ ）. x（A） （B）不存在 （C）1 （D）0

sin2(1x)13、lim（ ）.

x1(x1)2(x2)（A）1 （B）1 （C）0 （D）2

333

14、lim(1)x1x2x（ ）.

1 2（A）e （B） （C）0 （D）

2x1x0sin15、设f(x)x，要使f(x)在(,)处连续，则a（ ）. 3x0a（A）0 （B）1 （C）1/3 （D）3

3x1x116、点x1是函数f(x)1x1的（ ）.

3xx1（A）连续点 （B）第一类非可去间断点 （C）可去间断点 （D）第二类间断点

17、下列极限计算正确的是（ ）．

1x1sinx1 （A）lim(1)e （B）lim(1x)xe （ C）limxsin1 （ D）limx0xxxxxx

（三）导数与微分

1、函数fx在点x0处连续是在该点处可导的（ ）。 a 、必要但不充分条件 b、充分但不必要条件 c、充要条件 d、无关条件

82、已知ycosx ，则y=（ ）。

1a、sinx b、cosx c、sinx d、cosx

12、设yln(xx21)，则y′= ( ).

11①xx21 ②x21

2xx③xx21 ④x21

13、已知yefx ，则y=（ ）。 a、 efxfx b、efx

c、efxfxfx d、efxfx2fx

14、已知y14x4，则y=（ ）． A. x3 B. 3x2 C. 6x D. 6

15、设yf(x)是可微函数，则df(cos2x)（ ）． A．2f(cos2x)dx B．f(cos2x)sin2xd2x C．2f(cos2x)sin2xdx D．f(cos2x)sin2xd2x

17、下列等式中，（ ）是正确的。

A. 12xdxd2x B. lnxdxd1

x

C. -1xdxd1x2

D. s inxddxcos x

18、设y=F(x)是可微函数，则dF(cosx)= ( )

A. F´(cosx)dx B. F´(cosx)sinxdx C. -F´(cosx)sinxdx

D. sinxdx

19、下列等式成立的是（ ）。

A. 1B.1xdxdx xdxd1x2

C.sinxdxdcosx

D.axdx1lnadax (a0且a1)

24、曲线yx1在x1处的切线方程是（ ）

A.yx232 B.yx23x3x32 C.y22 D.y22

（四）中值定理与导数的应用

2、函数yx3x2 在其定义域内（ ）。

a、单调减少 b、单调增加 c、图形下凹 d、图形上凹

3、下列函数在指定区间(,)上单调增加的是（ ）．

A．sinx B．e x C．x 2 D．3 - x

4、下列结论中正确的有（ ）。

a、如果点x0是函数fx的极值点，则有fx0=0 ； b、如果fx0=0，则点x0必是函数fx的极值点；

c、如果点x0是函数fx的极值点，且fx0存在， 则必有fx0=0 ； d、函数fx在区间a,b内的极大值一定大于极小值。

5、函数fx在点x0处连续但不可导，则该点一定（ ）。 a、是极值点 b、不是极值点 c、不是拐点 d、不是驻点

6、如果函数fx在区间a,b内恒有fx0 ，fx0，则函数的曲线为（ a、凸上升 b、凸下降 c、凹上升 d、凹下降

。 ） 7、如果函数y2xx2的极大值点是x（ ）。 a、

1 ，则函数y2xx2的极大值是212 b、

9813 c、 d、 41628、当xx0时，fx0 ；当xx0时，fx0，则下列结论正确的是（ ）。 a、点x0是函数fx的极小值点 b、点x0是函数fx的极大值点

c、点（x0，fx0）必是曲线yfx的拐点 d、点x0不一定是曲线yfx的拐点

16、若fx0,则x0是fx的（ ）

A.极大值点 B.最大值点 C.极小值点 D.驻点

25、点(0,1)是曲线yaxbxc的拐点，则( ).

A、 a≠0，b=0，c =1 B、 a为任意实数，b =0，c=1 C、 a =0，b =1，c =0  D、 a = -1，b =2, c =1

29、设某商品的需求函数为q(p)10e332p2，则当p6时，需求弹性为（ ）．

A．5e B．－3 C．3 D．x1、xd(e)（

1 2 ）．

A．xexc B．xexexc C．xexc D．xexexc

2、下列等式成立的是( ) ． A．lnxdxd

3、若f(x)是g(x)的原函数，则（ ）.

（A）

11111 B．dxd2 C．cosxdxdsinx D．2dxd xxxxxf(x)dxg(x)C （B）g(x)dxf(x)C

（C）g(x)dxg(x)C （D）

f(x)dxg(x)C

5、若

f(x)dxx2e2xc，则f(x)（ ）.

2x22x（A）2xe （B）2xe （C）xe （D）2xe2x(1x) 6、若

2xf(x)dxF(x)C，则exf(ex)dx（ ）.

（A）F(ex)c （B）F(ex)c （C）F(ex)c （D）F(ex)c 7、设ex是f(x)的一个原函数，则xf(x)dx（ ）.

（A）ex(1x)c （B）ex(x1)c （C）ex(x1)c （D）ex(x1)c 9、若

f(x)dxx2c，则xf(1x2)dx（ ）.

（A） 2(1x2)2c （B） 2(1x2)2c （C）

11(1x2)2c （D） (1x2)2c 2210、sin2xdx （ ）.

1cos2xc （B）sin2xc 212（C）cosxc （D）cos2xc

2dx （ ）. 11、1cosx（A）

（A）tgxsecxc （B）ctgxcscxc （C）tg

xxc （D）tg() 2241f(lnx)dx（ ） x11A. F(lnx)+c B. F(lnx) C. F(lnx)c D. F()c

xx15、已知

f(x)dxF(x)C，则

16、下列积分值为零的是（ ）

A. xx1ee2exexxsinxdxB. dxC. dxD. cosxxdx11222

117、下列等式正确的是（ ）。

ddA. f(x)dxf(x)B. f(x)dxf(x)Cdxdx dbC. f(x)f(x)D. f(x)dxf(x)dxa 19、若

f(x)dxsin2xc,则f(x)

A.2cos2x B. 2sin2x C. -2cos2x D. -2sin2x

（六）定积分

1、下列积分正确的是（ ）。 b、

11dxlnx0 1x110c、

tgxdx24tgxdx2lncos4442ln22ln2

d、

11dxx12 1

2、下列（ ）是广义积分。 a、 15、

21111111x2dxdx b、 c、 d、edx dx21102xx1x(ecosxsinxx2)dx（ ）

2π32π32π3π3-1-1B. C. 2eD. e-eA. 3 3 3 3

18、无穷积分

11dx（ ） 2xC. 13 D.-1

A.∞ B.1 19、

dx[(arctant)2dt]（ ）。 0dx122（A）2arctant （B）(arctanx) （C） (arctanx) （D）(arctant)2 21t

二、填空： （一）函数：

2x,1x01、设f(x)2,0x1，则f(x)的定义域是________，f(0)=________，f(1)-x1,1x3________. 2、 yarccos2x的定义域是________，值域是________. 1x23、函数f(x)ln(x5)12x的定义域是 ．

4、若

11f(x)x223，则f(x)________.

xx1x25、设f()x1x，则6、若 f(x)f(x)________.

1，则f(f(x))________，f(f(f(x)))________. 1x ．

7、若函数f(x1)x22x5，则f(x) 8、设函数f(x)x1，则f()= 。 1xxaxax9、函数f(x)是_____________函数。

210、函数y1的定义域是区间 ； x21x11、函数y31

（二）极限与连续：

的反函数是 ；

1、lim(n1n)n1________.

nan2bn52，则a________，b________. 3、已知limn3n24、设lim(1x2kx)e3，则k_____________． x(2x3)20(3x2)305、lim________.

x(5x1)506、limxsinx ．

xx7、lim(axb)x(a0,b0,x0) ________.

x018、如果x0时，要无穷小量(1cosx)与asin2x等价，a应等于________. 2x0axb9、设f(x)，ab0，则处处连续的充分必要条件是2(ab)xxx0b________.

1/x2e10、f(x)ax0，则limf(x)________；若无间断点，则a=________.

x0x0x1x1，当A________ 时，函数

1x211、函数f(x)1xAf(x)连续.

x3ax2x412、设lim有有限极限值L，则a=________，L________.

x11xx2axb13、已知lim22，则a=________，b=________.

x2xx214、函数f(x)x的间断点是_____________；

lnx115、若lim(1x5kx)e10，则k x16、当x 时，yln1x2为无穷大

17、如果函数fx当xa时的左右极限存在，但fx在xa处不连续，则称间断点

xa为第 类间断点

（三）导数与微分

1、若函数yln3，则y= ． ． ．

2、若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则y(0) = 3、曲线yx在点（4, 2）处的切线方程是 x04、设f(x)是可导函数且f(0)0，则limf(x)＝________________； x5、曲线yxarctanx在x0处的切线方程是______________；

6、设由方程eyexxy0可确定y是x的隐函数，则

dydx

x07、函数ytanx在x0处的导数为 ；

（四）中值定理 导数的应用

1、函数y3(x1)2的单调增加区间是 . 2、函数y3(x1)2的驻点是 .

3、设某产品的需求量q为价格p的函数，且q1000e0.5p，则需求对价格的弹性为 .

4、过点(1,3)且切线斜率为2x的曲线方程是y= ． 5、函数yex2的拐点为

的单调递增区间为___________，最大值为__________

6、函数yex27、函数yxex 的驻点是 ，拐点是

8、设函数fx在点x0处具有导数，且在x0处取得极值，则该函数在x0处的导数

fx0 。

（五）不定积分

x1、已知f(x)的一个原函数为e，则f(x)= ．

2、若f(x)存在且连续，则[df(x)] ． 3、若

f(x)dxF(x)c，则exf(ex)dx= . 4、若f(x)连续，则(f(x)dx)＝ . 5、设f(x)cosx，则f[

x0f(t)dt]_______________；

6、

(1x)2xdx .

7、cscx(cscxctgx)dx .

8、9、

f(x)dx3ex3C，则f(x) . cos2xcosxsinxdx＝ .

cosxsinxdx＝ . 10、e11、arctan1dx . x212、(tgxtgx)dx . 2x4dx . 13、21x14、

1106xx2dx .

15、若

xf(x)dxsinex2C,则f(x)

1xlnxx16、dx 2x

（六）定积分及应用

1、已知f(x)在(,)上连续，且f(0)2，且设F(x)x2sinxf(t)dt，则

F(0) . e2xx1,x03x2、设f(x)，则limf(x) . x0xsint2dtx3,x003、已知f(2x)xe，则4、

x11f(x)dx . aax[f(x)f(x)]dx . dx，其中k为常数，当k1时，这积分 ，当k1时，这积kx(lnx)5、

2分 ，当这积分收敛时，其值为 .

6、设f(x)连续，且f(x)x2

7、设f(x)连续，且

10f(t)dt则具体的f(x) . x30f(t)dtx，则f(8) . xndx . 8、limn01x19、lim01xsint2dtx3x0

10、

13(1x2)3sin5xdx

11、

11cosdx 2xx12、设f(2)4,02f(x)dx1，则xf(x)dx

02

二、求极限

（一）利用极限的四则运算法则求下列函数的极限

2x21x24（1）lim2x3x4 （2）lim2 （3）lim

x1x23x6x5x3x32x23x2x9x12lim（4）lim （5） （6） lim2x1x9x3x3x1x34x32x24xx212x3（7）lim （8） （9） limlim22x0x4x0x2xx211x3x22x33x35x112x3（10）lim （11）lim （12）lim

xxx3x24x27x1xx6123(n1)(x102)(3x1)20lim2（13） （14） lim （15） lim230x3xx3nxn(2x3)1(x2)10(2x3)202limn1n（16）lim （17） （18）lim 302nx1x(13x)x1x11(1)n（19）limn1n1 （20）lim

nnn22（21）lim111

n1223n(n1)10xx213n2n2（22）lim2 （23）lim （24）lim2

x1x2x12xx1n2nn5et12x312x13（25）lim2 （26）lim （27）lim

xxxx4t2x4t（28）

limsin2x （29）x/42cos(x)xlim(x2x(30) lim131x311x

x

（二）利用第一重要极限公式求下列极限 （1）limtgxsinxx0x （2）limsin3xx0sin5x （4）lim1cosxx0x2 （5）limarcsinxx0x （7）limtgxsinx0x （8）limkxx0x （10）limsinxsina （11）xaxalim1x21x0xsinx （13）limsin(x1)x1x1 （14）lim1x21x0xsinx （16）limsin2x2x0tg3x （17）lim2xxsinx2 （19）limnxn2sin2n

（三）利用第二重要极限公式求下列极限

3xx（1）limx11x （2）limx12x 2（4）lim2x1x01x1x （5）lim2xx02 12x（7）lim13xxx0 （8）lim1x1x x2x)

3）limx2sinxx0xsinx

6）limsinx21x1x1 9）lim1cosxx0xsinx

12）limsin(x1)x1x21 15）limx0xctg2x

（18）limsinxxx

x3）limx12x

x6）limxx1x

x9）limx311x

（（ （ （ （ （ （ （（10）lim12x （11）limx01x2x3x1x （12）lim()

xx0ln(1x)2x12（13）lim(13tanx022x)cotx （14）lim(cosx)1/x （15）lim(x0xx3x) x13x（16）lim() （17）limn(ln(n2)lnn)

nx0x32x1x1（18））lim （19）lim （20）limx13x x0x1xx2x1（21）lim(1cosx)x3secxxx （22）lim(12sinx) （23）lim(14x)x0x01x1xx

2

（四）利用罗必达法则求极限

ln1xxsinxx327（1）lim （2） lim （3）lim

x0x0x3x3xx3lnxexexx2（4）lim （5）limx （6）lim2

xxx0xextg3xx22x111lim（7）lim （8） （9）lim 2tgxxx12x5xx1lnx2x15x4xe1（10）limxex1 （11）lim （12）lim

xx1x0x1xxx1/x（13）

xlim(39)x2x2e2xe2x2 （14）lim2 （15）lim

x2x3x2x01cosxlnxsin5x2 （18）lim(1sinx)x （16）lim （17）limx0x0x0ctgxxx（19）limx0sinx1xmam11) （21） limn （20）lim(x

x0xxaxane1xsinx11axbx) (24) lim(22) lim (23) lim(x

x0tanx3x0xx0ln(e11x)2x33x21(25) limx(x1x) (26) lim3

x1xx2x1x2

三、求导数或微分

（一）利用导数的基本运算公式和运算法则求导数 （1）yx4x1 （2）y（3）y12xx32x2 xx1 （4）yxlnxsinxcosx x11（5）y3x22x5 （6）yx21

（7）yx3x333 （9）yx2lnx （11）ysinx1cosx （13）yxcosxsinx （15）yxaaxaaa为常数 (17)y2x3sinx (19) y(32x)(23x) (21)

yex2x2x

（二）求复合函数的导数

（1）ysinx2 （3）y1x2 （5）ylna2x2 （7）yln1x2 （9）ycos3x5 （11）ye2x1 （13）yarctgx2 （15）yx2sinx2 x（8）yx1x2

10）yx21x21

12）ycosx1sinx

14）yxtgxctgx

16）y2xlnx

(18) y3tanx4

ylnx1(20)

xlnx (22) y1sint1cost （2）ylncosx

（4）ylntgx2 （6）yarcsin1x （8）ysinlnx

（10）ytg1x （12）y2x510

（14）yarcsinx3 （16）yexcosx

（ （ （（ （17）ysinx2sin2x （18）ylntg3x （19）yln2x （20）y34x2

11ycosxln（21） （22）y2x

2x1sin1x（23）ycosxsin3x （24）y23xx

2x2（25）y32x （26）ye

3（27）yarcsinx (28)yln(x（29）ylncose（31）yex2a2x2)

1x

x2 (30）

yarctancos2x （32）ysinnxcosnx

2（33）yx2lnx

（三）求由方程F（x,y）=0所确定的隐函数y=f(x)的导数 （1）y22x21 （2）yxlny （3）y1xey （4）cosxyx （5）x2ya0 （6）x2y2xy1

（7）yxlny （8）xarctgyy （9）x3lnyx2ey0 （10）xy23y18x6 （11）sin(xy)ln

xyx1＝1 （12）xye y233xxyarctan(xy)xya0（a为常数） （13） （14）

（四）利用取对数求导法求下列函数的导数 （1）yx1x2 （2）yx1x22x33 x3x41xx23x（3）yx （4）y 1x3x（5）yx1x 1x

（五）求下列函数的二阶导数

（1）yx42x34x21 （2）yx2lnx （3）yex （4）ysin1 （5）ylnx21 （7）yexsinx （9）fxxex2 （11）yarctanx （13）yln(x1x2)

（六）求下列函数的微分

（1）y6x5 （3）ylnx2 （5）yarccosx （7）ytg2x （9）yarctgx2 （11）y(x1)(1x1) （13）f(x)2xcosxln1x1x （15）yesin(3x1) （17）cos(x2y)x （19）yx2e2x （21）yln1x2 （23）

y2xarccosy

x6）yexcosx 8）ycosexsinex 10）yx1x2

（12）ysin2(12x)

（14）y(1x2)arctanx（2）yx21

（4）ysinx1x2

（6）yexcosx

（8）yarctgex 10）yx12x23

（12）yxexsinx （14）cos(xy)ey1 （16）yecos2x

（18）y=2sinx

（20）yexsin2x

（22）y1xey （ （ （ （ 四、求不定积分

（一）利用基本积分公式和积分的运算法则求不定积分 （1）

2x3x4sec2xdx （2）sinxdx 21x（3）

23xxx2dx （4）1dx 22（5）x41x2dx （7）tg2xdx （9）cos2x2dx （11）secxsecxtgxdx （13）2xexdx （15）e2t1et1dt （17）31x251dx x2（19）3x21x21x2dx （21）(11x2)xxdx 4（23）

x4x2x3dx (25) (x33)(x1)x2dx (27) 3x43x21x21dx (29) sin2x2dx

（二）利用第一类换元积分法求不定积分

x1x1x3 （6）x2dx

（8）

cos2xsin2xdx

（10）1sin2xcos2xdx （12）cscxcscxctgxdx14）

x4x2dx

16）xxxxdx 18）1x23x2x3dx 20）exxex21x2dx 22）x3(15x2)10dx. （24）x2x33xxdx (26) (4xxx4)dx (28) e(2exxx1x2)dx (30)(10xx10)dx

（ （ （ （（

3x（1）sin2x5dx （2）edx

（3）

x3232dx （4）12t52dt

（5）xx2dx （6）（7）

3x7dx

2x1dx （8）2xxdx

1x（9）

3x22x32dx （11）

114x2dx （13）1xlnxdx （15）

arcsinx21x2dx （17）ctgxdx （19）sin3xcosxdx （21）sec5xdx （23）acosxsinxdx （25）sin3x2cos3xdx （27）

2x1x2x2dx （29）5x42x52dx （31）(1lnxxsin2x)dx （33）xx25x6dx ee10）2x4x4dx

1x（12）ax2dx （14）lnx3xdx

（16）

arctgx1x2dx

（18）cscxdx

（20）

cosxsin3xdx

22）

1arctgx21x2dx24）sinx12cosx2dx

26）sinxsin2xsecxdx （28）2x2x22x3dx （30）1x22x2dx （32）sinxcos3x1cos2xdx （34）x31x35x26xdx （ （

（ （ （35）

x(arctanx)1x2dx (36)

3231dx 23xx2dx (38) (37) 34x23lnxxdx

ex5cosxsinxdx dx(39)  (40) 2x1e(41) tan(2x5)dx (42) (arctanx)2dx （43）21x

（三）利用第二类换元积分法求不定积分 （1）

adx 2x1x113xdx （2）dx （4）11x2x13dx

（3）

1xx3xx2dx

（5）

11xx1dx （6）dx xxxxx3112xdx （8）dx （10） （12）

（7）

x11dx

x1111x2dx

（9）

（11）

dx(x2a2)32x21x21x14dx

（13）

1x1x2dx (14)

11xdx

(15)

1x11xdx (16)

4x2dx

(17)

dx1x2

（四）利用分部积分法求不定积分

（1）xcosxdx （2）lnxdx

22（3）xarctgxdx （4）xlnxdx

x（5）arcsinxdx （6）xedx

2x（7）xedx （8）lnx1dx

（9）x1lnlnxdx （11）ln(x1x2)dx （13）xe2xdx (15)

xsinxdx (17) arctanxdx ( 18)

难题：

（1）sin2xcos2xsin4xcos4xdx （3）e2xsin2xdx （5）xnlnnxdx （7）arctanexexdx (9)

19x2dx (11) dx1(2x3)2 (13) arcsinx1x2dx (14) (15)

x2e3xdx 10）

x21exdx （12）sinxdx

14）xlnxdx

(16) x2cosxdx

exsinxdx

（2）dxxlnx(lnx2). （4）

dx2e2x2ex1（6）

dx1sinx；

(8) cosxxdx (10)

2x9x2dx

(12) x21x3dx

sec2x2tan2xdx (16) (lnx)2dx （（

(17)

xedx (18)

31arcsinxdx x2xdxdx (19) 2 (20) 4x5x6

五、求定积分

（一）求下列定积分 （1）

212x23x1dx （3）

e2dxexlnx （5）3dx1 31x2 2（7）

1211x2dx 22（9）

2x11xdx （11）02xcos2xdx （13）

322x2x3dx （15）

10x12x2dx

（二）求下列定积分 （1）

1dx154x （3）

30tgxdx （5）

5u11udu 1x （2）

10xxdx

（4）3x0e3dx

（6）20sinxdx （8）23x21dx

（10）23dx24x2 12）

e15lnx1xdx 14）4sec2x1dx

4116）ex2xdx 01e（2）

4101tdt

4）e2lnx1xdx 6）10x21x2dx

（（ （ （（（7）

20sin3xcosxdx （8）2dxx122

2dx11（9）x （10）sindx 1x20eexx1（11）

2dx （12）

sinsin3d

2xx21（13）

01sinxdx

（三）求下列定积分 1（1）20arcsinxdx （3）

e21lnxdx （5）

4x0cos2xdx （7）1x0edx （9）

e1xlnxdx （11）20xln(x1)dx x（13）10xe2dx （15）

1xe2x0dx

（四）求广义积分 （1）x0edx （3）

20xexdx （5）

1dx01x2 （7）

10x21dx 014）

3x011xdx

（2）1x20exdx

4）20exsinxdx

6）302xarctgxdx （8）10ln1x2dx

110）20arccosxdx

12）xex20dx

14）10ln1xdx

16）e1xlnxdx

（2）1exlnxdx 4）02x1x22dx

6）

111x2dx

8）lnxexdx （ （ （ （ （ （ （ （ （ （（9）

2dxdx （10）1x11x2 0六、定积分的应用

（一）利用定积分求曲线所围成区域的面积

（1 ） 求曲线y2x，直线x=0,x=3和x轴所围成的曲边梯形的面积； （2）求曲线ysinx,ycosx和直线x4,x4所围成的图形的面积；

（3）求由曲线yx2，直线yx,y2x所围成的图形的面积； （4）求由曲线y22x与直线yx4所围成的图形面积； （5）求由曲线yex,yex,x1所围成的图形面积。 （6）求由曲线y=x与直线y=-x+2，x=0围成的平面图形面积。

2

（7）求由曲线y=x与直线x+y=2围成的平面图形面积。 （8）设平面图形由y23

ex,ye,x0围成，求此平面图形的面积.

x所围成的图形的面积。

（9）求由曲线yx与y

（二）利用定积分求旋转体的体积

（1） 求由连续曲线ycosx和直线x0,x转体的体积；

（2）求由曲线yx2与y2和x轴所围成的图形绕x轴旋转所成旋

x围成的图形绕y轴旋转所得旋转体的体积；

（3）求由曲线yx3,x2,y0,绕x轴旋转所得旋转体的体积； （4）求由曲线yx,x1,x4,y0,绕y轴旋转所得旋转体的体积；

（5）求由曲线yx2,y28x,分别绕x轴、y轴旋转所得旋转体的体积。

七、计算题

（一）求下列各数的近似值

（1）31.02 （2）50.95 （3）ln1.03 （4）sin29

（5）cos6020 （6）38.02 （7）tg31



（二）求下列函数的增减区间

（1）yx12x （2）yxe1

3xx2（3）yarctgxx （4）y

1x（5）yx42x22 （6）yx3x （7）y=x-ln(1+x) （8）y(1x2)ex

2

21x2) （9）yx6x （10） yln( (11) y23x2x3

（三）求下列函数的极值

（1）yx42x2 （3）yxln1x （5）yx2lnx （7）yx2131 （9）yx33x29x15 2（11）y23xx13 （13）y(x3)2(x2) (15)yx33x25 (17)

y2x2lnx

（四）求下列函数的凹向与拐点

（1）yx42x31 （3）yln1x2 （5）y3x55x3 （7）y1x2 （9）yx32x2x5 (10)（2）yx2ex （4）yx1x （6）y2x123

（8）yx1x 2（10）y2x3x1

12）yx33x27

（14）y2xx2

(16)yarctanxx (18)yx410x28

（2）yx2x3 （4）yxex

5 （6）yx23 5 （8）yxx3

yxxx1

（

（五）求下列函数的最值

（1）y=x-3x+6x-2在区间[-1,1] （2）y=x2e-x在区间[-1,3]

3

2

x2y1x（3）

(4)

1[,1]2

yx3x2x1 ， [1,2]

1[,2] ， 21(5) yxx(6)

yx2x ， [0,4]

八、多元函数的微积分： （一）求下列函数的偏导数：

33（1）zxyxy （2）z2ln(xy)

y

（3）zarcsin(xy)cos(xy) （4）z(1xy)（5）

zarctanzyx

yxx （6）zy

（7）

（二）求下列函数的全微分：

xzxyy （2）zex2y （1）

22yzxy（3） （4）ux

1z2x2y2 （5）zxln(xy) （6）

zy （7）zln(1xy) （8）

22zyx

（三）求下列函数的偏导数和微分：

xzzzu2lnv而u,v3x2y,.y（1）设求xy

x2y（2.）设ze,而xsint, yt,求dz.

3dz（3.） 设zarctan(xy),而ye, 求dx.

xeax(yz)duua21, 而yasinx,zcosx, 求dx. （4）设

dy（四）设下列方程所确定的函数为yf(x),求dx.

x2(1)xylny0 (2)sinyexy0 (3)xylnxlny0

zzx,,（五）对下列隐函数, 求xyy及dz.

(1)x2yz2xyz0

xzlnzy(2)exyz0 (3)z

2z33（六）1、设z3xyza, 求xy.

2z2、设exyz0, 求x.

十二、计算下列二重积分：

2x(1) (x2y2)d,D其中D是矩形区域：x1,y1;

其中D由直线y2、yx与y2x所围成;

(2) (x2y2x)d,D(3) xy2d,D2其中D由抛物线yx和直线yx所围成;

(4) dy121sinxdx.y1x

5（5）

511dyydx ylnxexy22（6）

dx0x0dy

（7） （8）（9）

121421dxsiny12yxxx2ydydxsin2x42x2ydy

dyedx1dyedx

2y1yyxDydxdy，其中Ｄ是由直线yx,yx1,y0及y1及所围成的平面

区域。

九、判断与证明

（一）求下列函数的间断点, 并指出间断点的类型. 若是可去间断点，则补充定义，使其在该点连续.

x2x1(1)f(x)  (2) f(x)ln(2x1) x(x21)1x, x11arctan, x0(3)f(x)2x, 1x0 (4) f(x) x1 0, x0 xsin, 0x2x

（5）y1x22x21 （6）y2

x3x2sinxx01x2x1x（7）y1x （8）y0 x0

x1x0x0ex0x11x1x（9）fx0 x0 （10）fx

xx1x0（11）

f(x)x tanx

（二）利用连读函数的定义，证明下列函数在 x = 0 点的连续性.

x1(1)f(x)11x2 (2) f(x)22x1xarctanx, 1x0, x0(3)f(x)x (4) f(x) x 0, x0 1x, 0x1 

（三）判断下列函数在给定的区间上是否满足罗尔定理的条件。如满足，求出定理中的ξ；如不满足，说明原因。

（1）fxx2x1 2,0

2（2）fxlnsinx , 66（3）fx2xx3 1,

2253

（四）验证下列函数在给定的区间上是否满足拉格朗日定理的条件。如满足，求出定理中的

ξ；如不满足，说明原因。

（1）fxlnx 2,0 （2）fxarctgx , 66（3）fxlnx 1,2

（五）证明：

（1）证明方程x3x7x100在1与2之间至少有一个实根； （2）证明方程x21至少有一个小于1的正根。 （3）证明方程x3x1在（1，2）内至少存在一个实根；

（4）方程xasinxb，其中a0,b0，至少有一个正根，并且它不超过ab.

3（5）证明方程x3x1至少有一个根介于1和2之间. 5（6）证明方程x10x30有且只有一个实根.

542x5

（六）证明不等式：

(1)xln(1x) (x0)(2)当x1时,有exex（3）当x>0时，e>1+x （4） 当x>0时,cosx1

（七）证明等式： （1）

x

12x 22arctanxarcsin2x1x2(x≥1).

（八）证明： 当x —>0 时，

(1) e x -1 ∽ x； (2) arcsin x ∽ x .

九：应用题

1．设某产品的价格与销售量的关系为

p10Q5.

(1) 求当需求量为20及30时的总收益R、平均收益R及边际收益R'.

(2) 当Q为多少时,总收益最大？

2ppQ50000e2.设某商品的需求量Q对价格的函数为.

（1）求需求弹性;

（2）当商品的价格p=10元时,再增加1%，求商品需求量的变化情况. 3．某食品加工厂生产某类食品的成本C（元）是日产量x（公斤）的函数 C(x) = 1600 + 4.5x+0.01x

2

问该产品每天生产多少公斤时, 才能使平均成本达到最小值？ 4．某化肥厂生产某类化肥，其总成本函数为

23C(x)100060x0.3x0.001x (元)

20销售该产品的需求函数为 x=800-3p (吨), 问销售量为多少时, 可获最大利润, 此时的

价格为多少?

5. 某商店每年销售某种商品a件，每次购进的手续费为b元, 而每年库存费为c元，在该商品均匀销售的情况下（此时商品的平均库存数为批量的一半），问商店分几批购进此种商品，方能使手续费及库存费之和最少？

6．生产某种产品的固定成本为1万元，每生产一个该产品所需费用为20元，若该产品出售的单价为30元，试求：

(1) 生产x件该种产品的总成本和平均成本； (2) 售出x件该种产品的总收入；

(3) 若生产的产品都能够售出，则生产x件该种产品的利润是多少？

7.某厂生产某种商品q千件的边际成本为C(q)q36（万元/千件），其固定成本是9800（万元）.求（1）产量为多少时能使平均成本最低？（2）最低平均成本是多少？

8.已知某产品的边际成本为C(q)4q（万元/百台），边际收入为R(q)6012q（万元/百台）。如果该产品的固定成本为10万元，求：（1）产量为多少时总利润L(q)最大？（2）从最大利润产量的基础上再增产200台，总利润会发生什么变化？

9、生产某种产品q吨时的边际成本函数为C´(q)=2+q(万元/吨)，收入函数为

2

R(q)=12q-q/2(万元)，如果最大利润为15万元，求成本函数。

2

10、某商品总成本函数为C(q)=100+4q,q为产量，求产量为多少时，平均成本最小？

2

11、某厂生产某种商品q件时的总成本函数为C(q)=20+4q+0.01q(元)，单位销售价格为p=14-0.01q（元/件），问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少。

12、要做一个底为长方形的带盖的箱子，其体积为72cm3， 底长与宽的比为2 : 1，问各

边长多少时，才能使表面积为最小？

立方米的无盖圆柱体蓄水池，已知池底单位造价为13、要做一个容积为250池壁单位造价的两倍，问蓄水池的尺寸应怎样设计，才能使总造价最低？ 14、要做一底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72立方厘米，两底边之比为2:1，问边长为多少时用料最省？

十、解答题：

（一）求函数的定义域:

2f(x)f(x)的定义域 ; (1)若的定义域是[-4，4]，求

(2)若f(x)的定义域是[0，3 a] (a > 0)，求f(xa)f(xa)的定义域; (3)若f(x)的定义域是[0，1]， 求f(lgx)的定义域; (4)若f(1x)的定义域是[-1，1],求f(x)的定义域 （5）.求下列二元函数的定义域并作出图形：

2zln(y2x1) （2）（1）

z1xy1xy z（3）.

4xy2ln(1x2y2) （4）zxy （二）关于极限：

x21, x2f(x)2xk, x2, 问当k取何值时，函数f(x)在x —> 2时的极限存在. 1、设函数

xxf(x),(x)xx当x —> 0时的左、右极限，并说明它们在x—> 0时的极限是否2、求

存在.

x22lim(axb)5xx13、设 , 求常数a, b 的值.

3x2kxk3limxx2x2存在, 试求出常数k与极限值. 4、若常数k 使25、当x0时，指出关于x的同阶无穷小量、高阶的无穷小量、等价的无穷小量.

12x1x1,sin2x,cosx1,(e1),sinx2.2

6、已知

ax2b, 0x1f(x) 2, x1ln(bx1), 1x3,问当 a, b 为何值时,f(x)在 x =1 处连续.

f(x)7、求函数

x33x2x3x2x6的连续区间,并求x0limf(x),limf(x),limf(x)x2x3.

sinx, x02xf(x) , 试求 a,使得 limf(x)1x0x(1ax), x08、设 存在.

（三）导数和微分

1、讨论下列函数在x0处的连续性和可导性：

12xsin,x0yx0,(1) x0 (2) ycosx

x2,x0yx, x0 (3)

x2, x1f(x)axb, x1，2、 设函数为使函数f (x) 在x = 1处连续且可导，a ,b应取什么值？ 23、求曲线yx在点（-1，1）处的切线方程.

4、求曲线ysinxx上横坐标为x0的点处的切线方程和法线方程.

25、求曲线

3y2lnx(xe)cot3xy20在点（e, 1）处的切线方程。

6、设xye0，求y''(0).

327、设曲线f(x)xax与g(x)bxc都经过点(1,0)，且在(1,0)有公共切线，

求常数a、b、c.

d2yxaxa28、设yaxxa（a为常数），求dx

（四）微分中值定理 1、设x0lim(x3sin3xax2b)0,试确定常数a，b的值.

1x2f(x)xx2、→+∞时，的极限存在吗？可否应用罗必达法则.

(tanx)ln(1x),0x1f(x)1, x0， 证明函数f(x)在x=0 3、设

处右连续.