2018春中考数学《特殊四边形中的动点问题》针对演练

第二部分 攻克题型得高分

几何图形动点问题(特殊四边形动点问题)

1. (2016乐山)如图，在直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴正半轴上，点B的坐标是(5，2)，点P是CB边上一动点(不与点C、点B重合)，连接OP、AP，过点O作射线OE交AP的延长线于点E，交CB边于点M，且∠AOP＝∠COM，令CP＝x，MP＝y.

(1)当x为何值时，OP⊥AP?

(2)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；

(3)在点P的运动过程中，是否存在x，使△OCM的面积与△ABP的面积之和等于△EMP的面积？若存在，请求x的值；若不存在，请说明理由．

第1题图

2. 以菱形ABCD的对角线交点O为坐标原点，AC所在的直线为x轴．已知A(－4，0)，B(0，－2)，M(0，4)，P为折线BCD上一动点，作PE⊥y轴于点E，设点P的纵坐标为a.

(1)求BC边所在直线的解析式；

(2)设y＝MP2＋OP2，求y关于a的函数关系式； (3)当△OPM为直角三角形时，求点P的坐标．

1

第2题图

3. 正方形ABCD的边长为6 cm，点E、M分别是线段BD、AD上的动点，连接AE并延长，交边BC于F，过M作MN⊥AF，垂足为H，交边AB于点N.

(1)如图①，若点M与点D重合，求证：AF＝MN；

(2)如图②，若点M从点D出发，以1 cm/s的速度沿DA向点A运动，同时点E从点B出发，以2 cm/s的速度沿BD向点D运动，运动时间为t s.

①设BF＝y cm.求y关于t的函数表达式； ②当BN＝2AN时，连接FN，求FN的长．

第3题图

4. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A的坐标为(6，0)，点B的坐标为(0，8)，点C的坐标为(－25，4)，点M，N分别为四边形OABC边上的动点，动点M从点O开始，以每秒1个单位长度的速度沿O→A→B路线向终点B匀速运动，动点N

2

从点O开始，以每秒2个单位长度的速度沿O→C→B→A路线向终点A匀速运动，点M，N同时从O点出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．设动点运动的时间为t秒(t＞0)，△OMN的面积为S.

(1)填空：AB的长是______，BC的长是______； (2)当t＝3时，求S的值；

(3)当3＜t＜6时，设点N的纵坐标为y，求y与t的函数关系式；

48

(4)若S＝，请直接写出此时t的值．

5

第4题图

答案

1. 解：(1)由题意知，OA＝BC＝5，AB＝OC＝2，∠B＝∠OCM＝90°，BC∥OA，

3

∵OP⊥AP，

∴∠OPC＋∠APB＝∠APB＋∠PAB＝90°， ∴∠OPC＝∠PAB， ∴△OPC∽△PAB， CPOCx2∴＝，即＝， BAPB25－x

解得x1＝4，x2＝1(不合题意，舍去)， ∴当x＝4时，OP⊥AP.

(2)∵BC∥OA，∴∠CPO＝∠AOP， ∵∠AOP＝∠COM，∴∠COM＝∠CPO， ∵∠OCM＝∠PCO，∴△OCM∽△PCO， CMCOx－y2∴＝，即＝， COCP2x4∴y＝x－，

x

4

∵y>0，x>0,∴x－>0，解得x>2，

x∴x的取值范围是2过E作ED⊥OA于点D，交MP于点F，则DF＝AB＝2， ∵△OCM与△ABP面积之和等于△EMP的面积，

第1题解图

4

1

∴S△EOA＝S矩形OABC＝2×5＝×5ED，

2∴ED＝4，EF＝2，

∵PM∥OA，∴△EMP∽△EOA， ∴

EFMP＝， EDOA

2y5即＝，解得y＝， 452

445∴由(2)知y＝x－得，x－＝，

xx2

5＋895－89

解得x1＝，x2＝(不合题意，舍去)，

44

5＋89

∴在点P的运动过程中，存在x＝，使△OCM的面积与△

4ABP的面积之和等于△EMP的面积.

2. 解：(1)∵四边形ABCD是菱形，点A(－4，0)，B(0，－2)， ∴OC＝OA＝4，OD＝OB＝2， ∴C(4，0)，D(0，2)， 设直线BC解析式是y＝kx＋b，

－2＝b

把B、C坐标代入得，

0＝4k＋b

1k＝2

解得

b＝－2

1

∴BC边所在直线解析式为y＝x－2.

2

(2)因为点P为折线BCD上一动点，所以分点P在BC上和点P在

5

CD上两种情况进行讨论：

①点P在线段BC上，

将点P的纵坐标a代入直线BC的解析式中，解得：x＝2a＋4， 即PE＝2a＋4，OE＝－a， ∴ME＝4－a.

∴y＝PM2＋PO2＝PE2＋EM2＋PE2＋EO2＝4(a＋2)2＋(4－a)2＋4(a＋2)2＋a2＝10a2＋24a＋48；

第2题解图①

②点P在线段DC上，

1

由点A(－4，0)、D(0，2)易求得直线CD的解析式为y＝－x＋2，

2将点P的纵坐标a代入解析式中得：x＝4－2a，即PE＝4－2a，OE＝a，

∴ME＝4－a.

∴y＝ PM2＋PO2＝ PE2＋EM2＋PE2＋EO2＝(4－2a)2＋(4－a)2＋(4－2a)2＋a2＝10a2－40a＋48，

第2题解图②

6

综上可知，y＝10a2＋24a＋48(a<0)或y＝10a2－40a＋48(a>0)． (3)当O为直角顶点时， 点P与点 C重合， ∴P(4，0)；

当P为直角顶点时，根据OM2＝OP2＋PM2可得 10a2＋24a＋48＝16或10a2－40a＋48＝16，

2525

解得a1＝2＋(舍去，－2＜a＜2)，a2＝2－(10a2＋24a＋

5548＝16无解)，

25145

把a2＝2－代入y＝－x＋2解得x＝ ，

3254525

即P(，2－)，

55

4525综上当P的坐标为(，2－)或(4，0)时，△OPM是直角三

55角形．

3. (1)证明：∵AF⊥MN， ∴∠HAD＋∠HDA＝90°， 即∠FAD＋∠NAD＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°，AB＝AD， ∴∠BAF＋∠FAD＝90°， ∴∠BAF＝∠NDA， 在Rt△FBA和Rt△NAD中，

7



∠DAN＝∠ABF＝90°AD＝AB

， ∠BAF＝∠ADN

∴△BAF≌△ADN(ASA)， ∴AF＝DN，即AF＝MN.

(2)解：①如解图，过点E作EG⊥BC于点G，

∵点E在BD上以2 cm/s的速度向D点动动，动动时间为∴BE＝2t，

∵四边形ABCD为正方形， ∴∠CBD＝45°， ∴BG＝GE＝t， ∵GE⊥BF，∴GE∥AB， ∴△ABF∽△EGF，∴ABBFEG＝GF，

∴

ABEG＝BFBF－BG

， ∵AB＝6 cm，BF＝y， ∴6yt＝y－t， ∴y＝6t6－t

；

第3题解图

8

t，

②∵BN＝2AN，BN＋AN＝AB＝6 cm， ∴AN＝2 cm，BN＝4 cm.

由(1)知∠AMN＝∠BAF，∠ABF＝∠MAN＝90°， ∴△AMN∽△BAF，∴

AMAN＝， BABF

∵DM＝t，∴AM＝6－t，

6t

∵BF＝，AB＝6 cm，AN＝2 cm，解得t＝2，

6－t6－t2∴＝，

66t

6－t∴BF＝3， 在Rt△BNF中， FN＝BN2＋BF2＝5 cm. 4. 解：(1)10，6；

【解法提示】在Rt△AOB中，OA＝6，OB＝8， 由勾股定理得AB＝10.

如解图①，过点C作CD⊥OB于D，

第4题解图①

∵点C的坐标为(－25，4)，B点坐标为(0，8) ∴CD＝25，BD＝BO－OD＝4，

由勾股定理得BC＝CD2＋BD2＝(25)2＋42＝6.

9

(2)如解图②，过点C作CE⊥x轴于点E，

第4题解图②

∵C(－25，4)， ∴CE＝4，OE＝25.

在Rt△CEO中，OC＝OE2＋CE2＝6，

当t＝3时，点N与点C重合，OM＝3，连接CM，∴NE＝CE＝4， 11

S△OMN＝OM·NE＝×3×4＝6，

22即当t＝3时，S＝6.

(3)如解图②，当3第4题解图③

过点C作CF⊥y轴于点F，则F(0，4)．∵OF＝4，OB＝8，∴BF＝8－4＝4，

∵∠BGN＝∠BFC＝90°， BNBG∴NG∥CF，∴＝，

BCBF

12－2tBG4即＝，解得BG＝8－t.

643

10

44

∴y＝OB－BG＝8－(8－t)＝t. 3332610

(4)8或或.

35

48

【解法提示】由(2)知，当05即当点N在CO上时，不存在这样的t，当N在BC上，点M在OA上时，如解图④所示，

第4题解图④

1142248610

此时S＝OM·yN＝t·t，根据题意得t＝，解得t＝；

223355当M在AB上时，t＞6，∴此时点N也在AB上， 过点O作OE⊥AB于E，

1124

∵S△ABO＝OA·OB＝AB·OE，解得OE＝，

225148

∵S△MON＝MN·OE＝，∴MN＝4，

25

∵BN＝2t－12，AM＝t－6，∴①当点N在点M的上方时，如解图⑤，

第4题解图⑤

11

BN＋AM＝AB－MN＝10－4＝6， 即2t－12＋t－6＝6， 解得t＝8；

②当点N在点M的下方时，如解图⑥， AM－AN＝4，

即t－6－[10－(2t－12)]＝4， 32

解得t＝. 3

第4题解图⑥

12