函数的单调性与最值 单元测试专题练
A组 基础达标 (建议用时：30分钟)
一、选择题
1．下列函数中，定义域是R且为增函数的是( )
1
A．y＝2－x B．y＝x C．y＝log2x D．y＝－
x2．函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是( )
A．[1,2] B．[－1,0] C．[0,2] D．[2，＋∞) 3．已知函数f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，则a的取值范围是( ) A．(－∞，1] B．(－∞，－1] C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) 4．下列函数中，值域为[0,1]的是( ) A．y＝x2 B．y＝sin x C．y＝5．数f(x)＝(1
1
D．y＝1－x2 2
x＋1
a≥b时，ax)x－(2
b＝a；当a＜b时，ab＝b2，则函
x)，x∈[－2,2]的最大值等于( )
A．－1 B．1 C．6 D．12 二、填空题
6．函数f(x)＝log2(x2－1)的单调递减区间为________． 7．函数f(x)＝
11
在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是，则a＋b＝________. x－13
8．已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a的取值范围为________． 三、解答题
1
9．已知函数f(x)＝ax＋(1－x)(a＞0)，且f(x)在[0,1]上的最小值为g(a)，求g(a)的
a最大值.
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10．已知f(x)＝
xx－a(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)上单调递增；
(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．
B组 能力提升 (建议用时：15分钟)
11．定义在[－2,2]上的函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，且f(a2－a)＞f(2a－2)，则实数a的取值范围为( )
A．[－1,2) B．[0,2) C．[0,1) D．[－1,1)
x＋2x，x≥0，
12．已知函数f(x)＝2
x－2x，x＜0.
2
若f(－a)＋f(a)≤2f(1)，则a的取值范围是( )
A．[－1,0) B．[0,1] C．[－1,1] D．[－2,2]
2x＋k13．函数y＝与y＝log3(x－2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k的取值
x－2范围是________．
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x1
14．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，
x2
f(x)<0.
(1)求f(1)的值；
(2)证明：f(x)为单调递减函数；
(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值.
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函数的单调性与最值 单元测试专题练答案
A组 基础达标 (建议用时：30分钟)
一、选择题
1．下列函数中，定义域是R且为增函数的是( )
A．y＝2 B．y＝x C．y＝log2x D．y＝－
－x1
xB [由题知，只有y＝2与y＝x的定义域为R，且只有y＝x在R上是增函数．] 2．函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是( )
A．[1,2] B．[－1,0] C．[0,2] D．[2，＋∞) A [
－x
x－2x，x≥2，
f(x)＝|x－2|x＝2
－x＋2x，x＜2.
2
其图象如图，
由图象可知函数的单调递减区间是[1,2]．]
3．已知函数f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，则a的取值范围是( ) A．(－∞，1] B．(－∞，－1] C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) A [因为函数f(x)在(－∞，－1)上是单调函数，所以－a≥－1，解得a≤1.] 4．下列函数中，值域为[0,1]的是( ) A．y＝x2 B．y＝sin x C．y＝
1
D．y＝1－x2 2
x＋1
1
≤1；D中，0≤1－x2≤1， x＋1
2
D [A中，x2≥0；B中，－1≤sin x≤1；C中，0＜故选D.] 6．
a≥b时，ab＝a；当a＜b时，ab＝b2，则函
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数f(x)＝(1x)x－(2x)，x∈[－2,2]的最大值等于( )
A．－1 B．1 C．6 D．12 C [由已知得，当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2， 当1＜x≤2时，f(x)＝x3－2.
∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域内都为增函数， ∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.] 二、填空题
6．函数f(x)＝log2(x2－1)的单调递减区间为________．
(－∞，－1) [由x－1＞0得x＞1或x＜－1，即函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
令t＝x2－1，因为y＝log2t在t∈(0，＋∞)上为增函数，
2
t＝x2－1在x∈(－∞，－1)上是减函数，所以函数f(x)＝log2(x2－1)的单调递减区间为(－∞，－1)．] 7．函数f(x)＝
11
在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是，则a＋b＝________. x－13
6 [易知f(x)在[a，b]上为减函数，
f∴fa＝1，b＝，13
1a－1＝1，即
11＝b－13，
a＝2，
∴
b＝4.
∴a＋b＝6.]
8．已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a的取值范围为________．
(－∞，1]∪[2，＋∞) [函数f(x)＝x2－2ax－3的图象开口向上，对称轴为直线x＝a，画出草图如图所示．
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由图象可知，函数在(－∞，a]和[a，＋∞)上都具有单调性，但单调性不同，因此要使函数f(x)在区间[1,2]上具有单调性，只需a≤1或a≥2，从而a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．]
三、解答题
1
9．已知函数f(x)＝ax＋(1－x)(a＞0)，且f(x)在[0,1]上的最小值为g(a)，求g(a)的
a最大值.
111
[解] f(x)＝a－x＋，当a＞1时，a－＞0，此时f(x)在[0,1]上为增函数，∴g(a)
aaa11
＝f(0)＝；当0＜a＜1时，a－＜0，此时f(x)在[0,1]上为减函数，∴g(a)＝f(1)＝a；当
aaa，0＜a＜1，
a＝1时，f(x)＝1，此时g(a)＝1.∴g(a)＝1
a，a≥1.
在[1，＋∞)上为减函数，∴当a＝1时，g(a)取最大值1.
10．已知f(x)＝
∴g(a)在(0,1)上为增函数，
xx－a(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)上单调递增；
(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围． [解] (1)证明：设x1＜x2＜－2， 则f(x1)－f(x2)＝＝
－ x1＋2x2＋2
. x1x2
2x1－x2x1＋2x2＋2
∵(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，
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∴f(x1)＜f(x2)，
∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增． (2)f(x)＝
x－a＋aa＝1＋，
x－ax－ax－a＝x当a＞0时，f(x)在(－∞，a)，(a，＋∞)上是减函数， 又f(x)在(1，＋∞)内单调递减，
∴0＜a≤1，故实数a的取值范围是(0,1]．
B组 能力提升 (建议用时：15分钟)
11．定义在[－2,2]上的函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，且f(a2－a)＞f(2a－2)，则实数a的取值范围为( )
A．[－1,2) B．[0,2) C．[0,1) D．[－1,1)
C [函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，∴函数在[－2,2]上单调递增，∴
－2≤2a－2≤2，2a－2＜a－a.
2
－2≤a2－a≤2，
－1≤a≤2，∴0≤a≤2，a＜1或a＞2，
2
∴0≤a＜1，故选C.]
x＋2x，x≥0，
12．已知函数f(x)＝2
x－2x，x＜0.
若f(－a)＋f(a)≤2f(1)，则a的取值范围是( )
A．[－1,0) B．[0,1] C．[－1,1] D．[－2,2] C [因为函数f(x)是偶函数，故f(－a)＝f(a)，原不等式等价于f(a)≤f(1)， 即f(|a|)≤f(1)，而函数在[0，＋∞)上单调递增，故|a|≤1，解得－1≤a≤1.] 2x＋k13．函数y＝与y＝log3(x－2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k的取值
x－2范围是________．
(－∞，－4) [由于y＝log3(x－2)在(3，＋∞)上为增函数，故函数y＝2
2x＋k＝x－2
x－2＋4＋k4＋k＝2＋在(3，＋∞)上也是增函数，则有4＋k＜0，得k＜－4.]
x－2x－2
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x1
14．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，
x2
f(x)<0.
(1)求f(1)的值；
(2)证明：f(x)为单调递减函数；
(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值. [解] (1)令x1＝x2>0，
代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.
(2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则>1， x1
当x>1时，f(x)<0，∴f<0，
x2即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1) x19 由f＝f(x1)－f(x2)，得f＝f(9)－f(3)， x23而f(3)＝－1，∴f(9)＝－2. ∴f(x)在[2,9]上的最小值为－2. x1 x2 第 8 页 共 8 页 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容