专题复习--数列讲义(内含答案)

―――――――――――――――课堂自主导入―――――――――――――――― 【诊断训练】

1、已知是1,4,t,等差数列，则t 值和通项公式

an分别为（ D ）

2A．9, n B．7, 3n1 C．7, 2n1 D．7，3n2

2、在数列中，若anan15(nN)且a12,an58,则n(B) A．12 B．13 C．14 D．15 【能力小测】

3、在1与99之间插入50个数，使之成为一个等差数列，则公差d__所有项的和S_2600___. 4、等差数列{an}中，若__(2,98__. 51a120且从第

11项开始

an0，则公差d的范围是

20]_______ 9【要点梳理】

（1）等差数列的定义以及通项公式 an1an常数 ana1(n1)d

（2）等差数列的前n项和公式及其应用 n(n1)ana1nna1d 22（3）等差数列的整体代换

Sn（4）等差数列性质公式。若m,n,p,qN且mnpq则amanapaq

――――――――――――――――课堂对半讲练――――――――――――――――― 【问题1】设等差数列的前n项和为Sn，若S230,S444, （1）求数列{an}的通项公式 （2）求数列【思维精析】

【随堂记录】解：（1）由Snna1 Sn的前n项和Tn。 nn(n1)d 22a1d304a16d44a117d4an17(n1)(4)214n

1

（2）由Snna1 令bnn(n1)d2n219n2Sn2n19 nSn bn12(n1)19172n nbn1bn2且b117

bn是首项为17，公差为2的等差数列。

Tn17n

例2：【问题2】已知正项数列{an}满足an1an4(an1)(nN) （1）求证：数列{an}是等差数列 （2）若a61，求数列{【思维精析】

【随堂记录】解：（1）由an1an4(an1)化简可得：an1(an2) 由

2222n(n1)2n216n 222an}的前项和Tn

an0an1an2即an1an2(nN) 故数列{an}是等差数列

（2）设ana12(n1)由a61

a1101a19 即an92(n1)2n11，则an2n11

讨论：（1）n5 时，

an2n11112n

92n112Tna1a2an(a1a2an)（2）n6时，

n10nn2

an2n112n11

Tna1a2ana1a2a5a6a7an

92n11(a1a2an)2(a1a2a5)sn2s5n225n210n502综上：故sn210nn(n5)2 n10n50(n6)

[归纳]：1.证明等差数列的要点是什么？

2.分段数列的求和，需要注意什么问题？

例3：在等差数列{an}中，a120前n项和为Sn，且S10S15，当n取何值时，Sn有最大值，求出最大值。

2

解：由S15S10

a11a12a1505a130a130又a120

n12或13时，Sn最大

又S12S13

例4：已知等差数列{an}的前12项的和为354，其中偶数项的和与奇数项和之比为32:27,求公差d. 解：由

a1a132001313130 22a1a3a1127xa2a4a1232xd

作差得：6d5x又27x32x3545x 6x6 代入 d5

【本课小结】

应该记住的内容：

重点内容： 个人心得：

――――――――――――――――课后检测（A组）――――――――――――――― 一、选择题

1、在等差数列中，d,a78,则a1(A) A．10 B． 6 C．

2、在等差数列an中，已知a12,a2a313,则a4a5a6等于（B ） （A）40 （B）42 （C）43 （D）45

二、填空题

3、在公差小于0的等差数列{an}中，若a4a6a5，则Sn取最大值时n取值为4或5_.

133117 D． 33 3

4．设数列{an}是递增的等差数列且前三项之和为9，前三项之积为15，则通项公式

an_2n1__.

三、解答题

5、设等差数列的前项n和为sn，若a415,a935,

（1）求数列{an}的通项公式。 （2）若sn210,求n的值。 解：(1)an4n1 （2）由Sn34n1n2n2n210 n10 226、在公差不为0的等差数列{an}中，求通项公式an。 a1,a2为方程xa3xa40的根，解：由a1a2a3a1a2a4a21d2an2n

7*(选做) 在数列{an}中，若a12且an1an 2an1（1）求证：数列{

1an}是等差数列 （2）求数列{an}的通项公式。

（1）证明：

112a11n2 an1ananan1数列是公差为2的等差数列。

an（2）解：由（1）

114n3 (n1)2ana12an2 4n3

―――――――――――――――课后检测（B组）――――――――――――――――― 一、选择题

1．在等差数列{an}中，若公差d0且S3S7 那么其n项和Sn最大的n是（ B ） A）4 B）5 C）6 D）7

2．（2006年全国卷I）设an是公差为正数的等差数列，若a1a2a315，a1a2a380，则a11a12a13（ B ）

A．120 B．105 C．90 D．75

4

3．等差数列{an}中，a1a7则前10项的和S10等于 （ C ） 42,a10a321，

A、720 B、257 C、255 D、不确定

二、填空题（留解答空间）

4、．在等差数列{an}中，若Sn10,S2n20 则S3n_30____. 5．已知方程(x2xm)(x2xn0)的4个根组成一个首相为

221 的等差数列，则4mn_1___ 26．若数列{an}是等差数列，S100,S110，则使an0的最小的n值是_______6_______

三、解答题（留解答空间）

7．一个等差数列共n项，若前3项和为60，最后3项和为240，所有项的和为1000，求项数n. 解：由

a1a2a360anan1an2740

3(a1an)300 a1an100 Sn

a1ann1000n20 28*（选做）已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且

An7n45，Bnn3（1）求

a3Aa的值 （2）n为何值时，n为整数？ （3）n为何值时，n为整数？ b3Bnbna1a55a32a3a1a5A802（1）解：由510 b32b3b1b5b1b55B582（2）

An7n457n212424 7Bnn3n3n3由241242123846

n1,3,5,9,21时取整数

（3）由

an2ana1a2n1A2n17(2n1)4514n387n19127 bn2bnb1b2n1B2n1(2n1)32n2n1n1an1,2,3,5,11时，n是整数。

bn

5

数列专题复习（2）-----等比数列

―――――――――――――――课堂自主导入―――――――――――――――― 【诊断训练】

1、已知an是等比数列，a22，a5（A）1，则公比q=（ D ） 411 （B）2 （C）2 （D）

222、设等比数列{an}的公比q2，前n项和为Sn，则

S4（ D ） a2

D.

A. 2 B. 4 C.

15 217 2【能力小测】

3、已知2，a，4成等比数列，则实数a____22_________

4、在公差不为零的等差数列{an}中，若a1,a3,a6 成等比数列，则公比q__【要点梳理】（含考纲中相关内容）

（1）等比数列的概念并掌握其通项公式

3__. 2ana1qn1

（2）等比中项的定义 （3）掌握并能够应用等比数列的前 项和公式

na1(q1)n Sna1(1q)(q1)1q（3）等比数列下角标和公式：在等比数列{an} 中 若mnpq，则amanapaq （4）等比数列中，数列Sn,S2nSn,S3nS2n,也是等比数列 。 ――――――――――――――――课堂对半讲练――――――――――――――――― 例1：设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1b11，a3b521，

a5b313 （Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式；

（Ⅱ）设cn2anbn求数列cn的前n项和Sn． 【思维精析】 【随堂记录】

a3b521解（1）由a5b313

12dq421214dq136

2d20q424d12qd2 q2an1(n1)22n1（2）cn(4n2)2n1

bn12n12n1

24n21(12n)Snn2n22n1

212例2：在数列an中，a12，an14an3n1，（nN）

*（Ⅰ）证明数列ann是等比数列； （Ⅱ）求数列an的前n项和Sn； （Ⅲ）证明不等式Sn1≤4Sn，对任意nN皆成立． 【思维精析】

【随堂记录】解：（1）由an1(n1)4an3n1(n1)4(ann) 又a111 ann是首项为1，公比为4的等比数列

*ann14n1（2）由ann4（3）略。 (选做)

n1即ann4n1

n(n1)4n1Sn

23例3: 在数1和100之间插入n个实数，使得这n2个数构成递增的等比数列，将这n2个数的乘积记作Tn，再令anlgTn,n1. （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bntanantanan1，求数列{bn}的前n项和Sn. 解：（1）由Tn1a1a2an100 又Tn100anan1a11

Tn100100100100n2

2)（2）由tan(tantantantantan1 tan1tantantan()bntan(n2)tan(n3)tan(n3)tan(n2)1

tan1tan(n3)tan3Snb1b2bnn

tan1

7

【课后练习A】

1．数列a,a,a,,a,(aR)必为 （ D ）

A、等差非等比数列 B、等比非等差数列 C、既等差且等比数列 D、以上都不正确

2．若ABC的三边a,b,c既成等差数列，又成等比数列，则该三角形是__等边___三角形。 3．若等比数列的前n项和Sn3t，则t的值为（ D ） A）3 B）1 C）0 D）—1 4．若1,a,b,c,9成等比数列，则b__3__.

5．在等比数列{an}中，若S37,S663，则公比q__2__.

6．在互不相等的正项等比数列{an}中，若a2,a3,a5成等差数列，则公比q__2__. 三、解答题（留解答空间）

7．已知an是各项为正数的等比数列。试比较

nanan2与an1的大小，证明你的结论. 2anan2anan22an1an(q22q1)an(q1)2an10 解：

2222

【课后练习B】

1．在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，，则公比q为（ A ） A．2 B．3 C．4 D．8

2．（2007湖南文）在等比数列{an}（nN*）中，若a11，a4项和为（ B ） A．21，则该数列的前1081111222 B． C． D． 41011922223．已知{an}是等比数列且

an0，若a2a42a3a5a4a625，则a3a5_A__.

A）5 B）10 C）15 D）20

4．在等比数列{an}中，若a24,a532则a1a2a3___1___..

2a2a3a45．在等比数列{an}中，若a22,a44，则a12a22an22n12.

6．等比数列中，若S510,S1030,则S__70___.

15*{a}(nN)是等差数列，则有数列ba1a2a3......an,(nN*)也是n7．若数列nn 8

*{c}(nN)是等比数列，且cn0，则有数

等比数列。类比上述性质，相应地：若数列nc1c2cn_____,(nN*)也是等比数列。

8．若互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，且a3bc10，则a=（ D ）

列dn___ A.4 B.2 C.-2 D.-4

9．设{an}为公比q>1的等比数列，若a2004和a2005是方程4x8x30的两根，则

2na2006a2007__18___.

数列专题复习（3）----数列的综合问题

一、课前小测

1．凸多边形各内角度数成等差数列，最小角为120°，公差为5°，则边数n等于 ( B )

A.16 B.9 C.16或9 D.12

2．若A、B、C成等差数列，则直线Ax+By+C=0，必过点 （1，-2）

二、本课知识要点

1．等差数列与等比数列的综合运用

2．数列知识与其他内容的综合问题 3．数列的探索性问题

三、典型问题

【问题1】已知数列

an中，a11,且点Pan,an1nN在直线xy10上.（1）求

1111nN,且n2,na1na2na3nan数列an的通项公式；（2）若函f(n)求函数f(n)的最小值； 解：（1）由anan110an1an1

an是公差为1的等差数列 an1(n1)n

111 n1n22n111f(n1)n2n32n2

11111f(n1)f(n)02n22n1n12n12n2

1f(n)是递增的。 f(n)minf(1)

2（2）f(n)

9

【问题2】设⊙C1,⊙C2,„„,⊙Cn是圆心在抛物线yx2上的一系列圆，它们的圆心的横坐标分别记为a1,a2,,an。已知a11，a1a2an0。若⊙Ck 4(k=1,2,3, „„,n)都与x轴相切，且顺次两圆外切。 （1）求证：{1}是等差数列 （2）求an的表达式； an222（3）求证：a1a2an（1）解：由On(an,an)21 42On1(an1,an1)

OnOn1R1R2(anan1)2(anan1)2anan1化简：anan12anan1

2222

112an1an又14 a11 是首项为4，公差为2的等差数列。an142(n1)2n2anan1

2n2 【问题3】．在直角坐标平面上有一点列P1(x1,y1),P2(x2,y2),Pn(xn,yn)，对一切正

整数n，点Pn位于函数y3x差的等差数列xn。

⑴求点Pn的坐标；

135的图象上，且Pn的横坐标构成以为首项，1为公42⑵设抛物线列c1,c2,c3,,cn,中的每一条的对称轴都垂直于x轴，第n条抛物线cn的顶点为Pn，且过点Dn(0,n21)，记与抛物线cn相切于Dn的直线的斜率为kn，求：

111。 k1k2k2k3kn1kn

53(n1)(1)n 2213535yn3xn3n,Pn(n,3n)

4424（2）cn的对称轴垂直于x轴，且顶点为Pn.设cn的方程为：

2n3212n5ya(x),

24解：（1）xn

10

把Dn(0,n21)代入上式，得a1，cn的方程为：yx2(2n3)xn21。

1111()

kn1kn(2n1)(2n3)22n12n31111111111[()()()] 792n12n3k1k2k2k3kn1kn25711111)=(

252n3104n6

课后练习：

kny'|x02n3，11．已知数列{an}满足a10,an1an33an1(nN*)，则a20=（ B ）

3 2

A．0 B．3 C．3 D．

22．在各项均不为零的等差数列an中，若an1an则S2n14n（ A ） an10(n≥2)，

Ａ．2 Ｂ．0 Ｃ．1 Ｄ．2

3．设数列

an是等差数列，且a26,a86，Sn是数列an的前n项和，则（ B ）

A．S4S5 B.S4S5 C．S6S5 D．S6S5

4．在等差数列

{an}中S936 ， S13104 ，等比数列{bn}中，

b5a5 ， b7a7，则 b6 42 5．已知数列{an}，如果a1,a2-a1，a3-a2，„，an-an-1，„是首项为1，公比为

1的等比数列，3则an等于(n∈N) ( A ) 31312121) B.(1n1) C.(1n1) D.(1n1) A.(122333333n6．已知等比数列｛an｝的前n项和为Sn(n∈N)，若a3=3S2+2,a4=3S3+2,则公比q的值是 4 7．下列各命题中，真命题是( D )

A．若｛an｝成等差数列，则｛|an|｝也成等差数列 B．若｛|an|｝成等差数列，则｛an｝也成等差数列

C．若存在自然数n,使得2an+1=an+an+2，则｛an｝一定是等差数列 D．若｛an｝是等差数列，对任何自然数n都有2an+1=an+an+2

(a1a2)28．已知x、y为正实数，且x，a1,a2,y成等差数列，x,b1,b2,y成等比数列，则的取

b1b2值范围是____[4,)_____

11

9．已知向量m//n,其中m(1,1)，n(1,y)(x,y,cR)，把其中x,y所满

x3c1足的关系式记为yf(x)，若函数f(x)为奇函数. （Ⅰ）求函数f(x)的表达式； f(x)x3

（Ⅱ）已知数列an的各项都是正数，Sn为数列an的前n项和，且对于任意nN，

*都有“数列f(an)的前n和”等于Sn2，求数列an的首项a1和通项式an；ann

10.如图，在xOy平面上有一系列点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，Pn(xn,yn)对每个自然数

2点P以点P且⊙Pn，n位于函数yx(x0)的图像上，n为圆心的⊙Pn与x轴都相切，n与

⊙Pn1又彼此外切.若x11,且xn1xn(nN). （1）求证：数列*y1是等差数列； xnPnPn+1（答案见P7问题（2）） （2*）设⊙Pn的面积为Sn，TnS1S2Sn，

3求证：Tn.

2（2）解：由（1）

ox11(n1)22n1xnx11(2n1)4Snxn1

(2n1)21 2n1Snxn4111S1S2Sn(22)213(2n1)

111113（1）(1)2334（2n2）(2n1)22n12

12