09.幻方(四)单偶数阶幻方的编排方法

4、幻方（四）—— 单偶数阶幻方的编排方法

我们已经知道，双偶数阶幻方使用“中心对称交换法”编排比较简单，那么，单偶数阶幻方（六阶、十阶、十四阶……）能使用“中心对称交换法”编排吗？我们以六阶幻方为例进行研究。

按照中心对称交换的步骤，应先排出一个六阶自然方阵（如下图A），如果对角线上的数不动，我们先把第一行和倒数第一行除对角线外的各数进行中心对称交换，结果如下图B所示。

从图B可以看到，第一行大数多而小数少，而倒数第一行反而是小数多而大数少，显然这两行的和不会相等，所以不能再照搬 中心对称交换法 来编排单偶数阶幻方。

下面我们介绍一种单偶数阶幻方的编排方法——同心方阵法。什么是同心方阵法呢？如果编排一个六阶幻方，就要先编排一个四阶幻方作为中心，然后在它的四周再编排一个外框，这样就可构成六阶幻方。

使用同心方阵法，用1～36这三十六个数编排六阶幻方的具体步骤如下：

一、因为要编排的是六阶幻方，所以要取（6－2）×（6－2）＝16个数来编排中心部分的四阶幻方。取哪些数呢？中间的16个，也就是要去掉前、后各（36－16）÷2＝10个数，即取11、12、13、14、…、25、26这十六个数，用编排四阶幻方的方法在6×6的中心编成一个四阶幻方。

二、编排四阶幻方的外框。

① 用哪些数编排外框？

从1～36中已经取出11至26来编排中心的四阶幻方，这弱就还剩下1～10这十个小数，27～36这十个大数。为了使用方便，我们把这二十个大、小数排成下列形式；

注意：这些数相应的一大一小两个数恰好都是37。

② 怎样编排外框？

由求幻和公式可知：

六阶幻方的幻和＝（1＋2＋3＋4＋…＋35＋36）÷6＝111，

四阶幻方的幻和＝（11＋12＋13＋…＋25＋26）÷4＝74，

111－74＝37，

这就是说，在已经编好的中心四阶幻方的每列（行）的两端空格里必须填入和是37的两个数。又知上

面相应的一大一小两个数的和恰好是37，因此，只要在每列（行）的两端空格里分别填入相应的一个大数和一个小数就可以了。

另外，上、下两行的每一行及左右两列的每一列中的六个数都必须是由三个大数和三个小数组成。因为，如果只有两个大数和四个小数，那么它们的和最多是36＋35＋10＋9＋8＋7＝105，而六阶幻方的和是111，这样不能组成六阶幻方了；如果是四个大数和二个小数，那么它们的和至少是27＋28＋29＋30＋1＋2＝117＞111，也不能组成六阶幻方。所以外框中每一行或每一列必须有三个大数和三个小数。

按照上面分析的结果，具体编排如下：

先排上、下两行。可以把1、2填在下图C中的左、右上角的格子里（当然，不填1、2先填其它两个数也可以），因为对角线两端的数之和也应是37，所以相应的左、右下角必须分别填入35、36。

假设1右边的格子内是小数用x1表示，则同一列下端的格子就必须填入相应的一个大数，设为y1（x1＋y1＝37）；这样第一行的其它三个数就一定都是大数了，分别用y2、y3、y4表示，第六行剩下的三个数就是与y2、y3、y4相对应的小数，分别用x2、x3、x4表示，（x2＋y2＝37，x3＋y3＝37，x4＋y4＝37）。（见下图C）

接着我们研究x1、x2、x3、x4和y1、y2、y3、y4应该分别取什么值？

大家知道，六阶幻方的第一行六个数的和是111，也就是1＋x1＋y2＋y3＋y4＋2＝111。

∵ x2＋y2＝37 ∴ y2＝37－x2

∵ x3＋y3＝37 ∴ y3＝37－x3

∵ x4＋y4＝37 ∴ y4＝37－x4

因此，1＋x1＋y2＋y3＋y4＋2＝111得1＋x1＋（37－x2）＋（37－x3）＋（37－x4）＋2＝111

整理得：3＋x1－x2－x3－x4＝0，即x1＋3＝x2＋x3＋x4

因为小数1、2已经用了，所以x2＋x3＋x4至少是3＋4＋5＝12，这是x1＝12－3＝9。

当x1＝9时，相应的y1＝28，可以让x2＝3时，相应的y2＝34；x3＝4时，相应的y3＝33；

X4＝5时，相应的y4＝32。把它们填入上图D中。请大家想一想：如果x2＋x3＋x4＝4＋5＋6可以吗？

这样想：如果x2＋x3＋x4＝4＋5＋6＝15，这时的x1＝15－3＝12，而x1是小数，最多只能是10，所以x2＋x3＋x4＝4＋5＋6不行。那么x2＋x3＋x4还能不能取其它的值？请大家自己分析。

我们继续编排外框的左、右两列。从图D可以看出，第一列和第六列都各有一个大数和一个小数，所以每列所剩下的四个数必定是两个大数和两个小数。假设第一列1的下面是两个小数，分别用a1、a2表示，2的下面与a1、a2相对应的两个大数分别b1、b2用表示，第一列a2下面的两个大数分别用b3、b4表示，第六列b2下面的两个小数分别用a3、a4表示（见下图E）。

因为b3＝37－a3，b4＝37－a4， 已知1＋a1＋a2＋b3＋b4＋35＝111，

所以， 1＋a1＋a2＋（37－a3）＋（37－a4）＋35＝111，

整理得 a1＋a2＝a3＋a4＋1

十个小数1～10中的1、2、3、4、5、6、9这六个数已经用了，还剩下6、7、8、10，而这四个数有下面的关系：6＋10＝7＋8＋1。因此，当a1＝6，a2＝10时，就有a3＝7，a4＝8，相对应的四个大数b1＝31，b2＝27，b3＝30，b4＝29，把这些数填入下图中，就得到了一个六阶幻方（图F）。

大家想一想，六阶幻方还有其它填法吗？

由上面的编排过程可以看出，利用同心方阵法编排六阶幻方时，要先编排一个四阶幻方，然后在它的周围再编排一个外框。类似的，如果要编排十阶幻方时，就应先编排一个八阶幻方，然后在它的周围再编排一个外框。一般地，要编排一个4k＋2型单偶数阶幻方，就要先编排一个相应的4k型双偶数阶幻方，然后以它为中心，在它的周围再编排一个外框即可。

前面我们分四部分介绍了一些编排幻方的方法，以后不论用哪种方法编排幻方时，都要仔细认真，不要怕麻烦，用同一种方法编排出来的幻方，形式不一定是唯一的，编排出一个幻方后，做适当的旋转、调换，就可以得到另一种形式的幻方。