基本不等式专题复习

[基础知识]

1.(1)若aR,则a2 0，a 0 (2)a2b2ab22 (2)

(3)a2b2c2 abbcac (4)若a>b>0,m>0则bbma am

(5)若a,b同号且a>b则1a 1b (6)a,bR,则a2b2 2ab 变形 2．均值不等式:

两个正数的均值不等式：ab2ab 变形 ，

3．最值定理:设x,y0,由xy2xy （1）如果x,y是正数,且积xyP(是定值）,则xy时,和xy有最小值2P

（2）如果x,y是正数和xyS(是定值）,则x=y时,积xy有最大值（S22）

运用最值定理求最值的三要素：一 ，二 ，三 。

4．yxax(a0)的草图：

[典型例析]

例1. 已知x,yR，且x4y1，则xy的最大值为 .

变式 （1）已知x0，y0，且x2yxy30，求xy的最大值 .

（2）已知lgxlgy1，则52xy的最小值是 .

例2 （1）已知x514，求函数y4x24x5的最大值.

（2）求函数yx24x21的最小值

（3）求y4x22x22的最大值.

（4） 已知：xy0，且xy1，则x2y2xy的最小值是 .

（5）已知0＜x＜13，求函数y=x(1-3x)的最大值

（6）求函数y=x43x23x21的最小值.

1

41例3若x0,y0xy1,则的最小值为 ．

xy

12变式 （1）已知x、y为正实数，且+=1，求x+y的最小值。

xy

（2）函数ya1x(a0，a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mxny10(mn0)上，则11的最小值为 ． mn

（3）已知正数a,b,x,y满足a+b=10,

例4 （1）已知A(0,9) B(0,16)是y轴正半轴上的两点，C(x,0)是x轴上任意一点，求当点C在何位置时，ACB最大？

(2)已知下列四个结论

①当x0且x1时,lgx12；②当x0时,x12；

lgxx③当x2时,x

11的最小值为2；④当0x2时,x无最大值,则其中正确的个数为 xxab=1，x+y的最小值为18，求a,b的值. xy

2

1a(3)已知不等式(xy)()9对任意正实数x,y恒成立，则正实数a的最小值为 xy