全等三角形模型：二次全等、截长补短、倍长中线、一线三等角、半角模型

全等三角形模型+例题

【考纲要求】

1. 了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素； 2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；

3．会作角的平分线，了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质， 会利用角的平分线的性质进行证明.

【考点梳理】

【全等图形】 知识点一、全等图形的概念 能够完全重合的图形叫做全等图形，简称全等形. 1. 2. 全等图形可能不止两个，只要符合全等图形的定义，能够完全重合的都是全等图形； 图形是否全等与它们所在的位置无关，只要把它们叠在一起，能够完全重合就是全等图形. 知识点二、全等图形的性质 全等图形的性质：①形状相同，②大小相等. 1. 2. 3. 全等图形的对应边和对应角都是相等关系； 全等图形的周长和面积一定相等，但周长或面积相等的图形不一定是全等图形. 判断两个物体是否为全等图形的方法： （1）将这两个图形叠放在一起，看是否能够完全重合； （2）观察这两个图形的大小和形状是否完全相同. 知识点三、几何变换与全等图形 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状和大小都没有改变，也就是说，平移、翻折、旋转前后的图形全等. 1. 2.

一个图形经过平移、旋转或翻折等变换后，所得到的图形一定与原图形全等. 两个全等的图形经过平移、旋转或翻折等变换后一定可以与原图形重合.

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【全等三角形】 知识点一、全等三角形的概念及表示 1. 两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形 全等三角形是特殊的全等图形，同样的，判断两个三角形是否为全等三角形，主要看这两个三角形的形状和大小是否完全相同，与它们所处的位置无关. 2. 全等三角形的对应关系：两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角. 3. 全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”. 在记两个三角形全等时，要把对应顶点的字母写在对应的位置上，如△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，读作△ABC全等于△DEF. 4. 确定全等三角形对应关系的方法： （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角）一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）. 知识点二、全等三角形的性质 1. 2. 最主要的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 其它性质： （1）全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等； （2）全等三角形的周长相等，面积相等，但是，周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形. 知识点三、全等变换 在不改变图形的形状和大小的前提下，只改变图形的位置叫做全等变换. 常见的全等变换有平移变换、翻折变换、旋转变换，如下图所示：

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【探索三角形全等的条件】 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写边角边 为“边角边”或“SAS”. 两角及其夹边分别相等角边角 的两个三角形全等，简写“角边角”或“ASA”. 在△ABC与△A’B’C’中，已知 在△ABC与△A’B’C’中，已知两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两角角边 个三角形全等，简称为“角角边”或“AAS”. 三边分别相等的两个三边边边 角形全等，简称为“边边边”或“SSS”. 在△ABC与△A’B’C’中，已知 在△ABC与△A’B’C’中，已知 . 斜边、直角边 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形在Rt△ABC与Rt△A’B’C’中， . ，已知全等，简称为“斜边、直角边”或“HL” 1. 2. 探究SSA

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只有两边及其夹角分别对应相等，才能判定两个三角形全等，“边边角”不能判定三角形全等； 在书写过程中，要按照边角边对应顺序书写，即对应顶点的字母写在对应的位置上.

【全等三角形证明方法】 全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法. 1． 证明线段相等的方法： (1) 证明两条线段所在的两个三角形全等. (2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等. (3) 等式性质. 2． 证明角相等的方法： (1) 利用平行线的性质进行证明. (2) 证明两个角所在的两个三角形全等. (3) 利用角平分线的判定进行证明. (4) 同角（等角）的余角（补角）相等. (5) 对顶角相等. 3． 证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法； 可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明. 4． 辅助线的添加: (1)作公共边可构造全等三角形； (2)倍长中线法； (3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形； (4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形. 5. 证明三角形全等的思维方法: （1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件. （2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件. （3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.

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全等三角形手拉手模型 【手拉一组顶角相同的等腰三角形（头碰头，手拉手） 结论： 手①△AOC△△BOD ②△AOC△△BOD 模型】 【共线型手拉手】 【非共线型手拉手】 【正方形等面积结论】

△ABC 与△DCE 均是等边三角形，点 B,C,E 在同一条直线上结论： ①△③△BCF△△ACG；④FG△BE；⑤BF=AG；⑥EG=DF ; B⑦OC 平分△BOE；⑧BO=AO+CO ; ⑨OE=OC+OD CD △ABC 与△DCE 均是等边三角形，点 B,C,E 不在同一条直线上结论： ①△⑦OC 平分△BOE；⑧BO=AO+CO ; ⑨OE=OC+OD B（对应共线型的 9 个结论） CD△ 结论：①S△ABC=S△CDE； ②若 G 为 AB 中点，则 CG= 1DE

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截长补短，倍长中线 已知：AD是ABC底边的中线 AAAMFDNCBEDC倍长中线 中点类辅助线作法 BDCB E图1图2图3见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线或者是与中点有关的一条线段，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见，常见添加方法如下图（AD 是ABC底边的中线)． 四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C=180° 证：在BC上截取AB=A’B，则可证ABDA'BD （将最长线A段一分为二） BA'DC截长补短类辅助线作法 （将较短线段延长，使其与最长线段相等） BDC △ABC中，∠C=2∠B，∠1=∠2，求证：AB =AC+CD 证：延长AC至点E，使CE=CD，则可证ABDAED A12 截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想．所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短

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E

线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等；所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系．有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解． 一线三等角 随着新课标的实施，以及考试命题的不断创新，试题对常见模型的考查愈加深入，越来越重视对学生知识迁移和创新能力的考核本文，利用“一线三直角”模型探究与正方形有关的几何问题， 一线三等角概念:“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼， “K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。 三垂直模型（一线三等角） （K型） 全等篇 DCDDCCAPB APB APB同侧 锐角 直角 钝角 DDD一线三等角的分类 AABPABPBCP C C 异侧 相似篇 DDCDCBCAP APBAPB同侧 锐角 直角 钝角

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DDDAABPABCBPPC C 异侧 半角模型 1. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则BE＋DF ＝EF. 简证：如图，将△ADF绕点A顺时针旋转90º得到△ABG，使得AD与AB重合， 通过证明△AEF≌△AEG即可得到BE＋DF＝EF. 2. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则AE平分 ∠BEF，AF平分∠DFE. 简证：如图，将△ADF绕点A顺时针旋转90º得到△ABG，使得AD与AB重合；将△ABE绕点A逆时针旋转90º得到△ADH，使得AB与AD重合. 3. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则. 简证：通过上述的全等直接可以得到，不再证明. 4. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，过点A作 AH⊥EF交EF于点H，则AH＝AB. 简证：由上述结论可知AE平分∠BEF，又∵AB⊥BC，∴AH＝AB. 5. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则＝CE＋CF＋EF＝CE＋CF＋BE＋DF＝2AB. . 简证：由结论1可得EF＝BE＋DF，则6. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则. 简证：如图，将△AND绕点A顺时针旋90º得到△AGB，连接GM. 通过证明△AMG≌△AMN得MN＝MG，DN＝BG，∠GBE＝90º，即可证. 补充：等腰直角三角形与“半角模型”

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如图所示，在等腰直角三角形ABC中，若∠DCE＝45º，则，连接. . 证明：如图，将△ACD绕着点C顺时针旋转90º得到△

1.1二次全等证明

1. 2. 3. 4. 5.

已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E． 求证：△BDF≌△CDE．

已知：如图，点A，E，F，C在同一直线上，AE=CF，过点E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，连接AB，CD，BD，BD交AC于点G，AB=CD． 6. 求证：△DEG≌△BFG． 7.

3.已知：如图，在Rt△ACD中，∠ADC=90°，BE⊥AC于E，交CD于点F，AE=AD． 求证：△CEF≌△BDF．

4.已知：如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，BD平分∠ABC，E为BD上任意一点，连接AE，CE． 求证：△ADE≌△CDE．

5. 已知：如图，在△ABC中，∠ACB=∠ABC=60°，∠EDF=60°，BD=CD，∠DBC=∠DCB=30°，∠BDC=120°，延长AC到点G，使CG=BE．

6. 求证：△EFD≌△GFD． 7.

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6、已知：如图，点A，C在直线EF上，BC=AD，AB=CD，AE=CF． 求证：∠E=∠F．

7、已知，如图，AE=BF，AD=BC，CE=DF． 求证：AO=BO．

8、已知：如图，∠D=∠E，AM=ME=CN=DN．试猜想AB和BC的数量关系，并证明你的猜想． 9、 10、

9.如图，在正方形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=CD=AD．E为BC边上一点，且AE=DE，AE与对角线BD交于点F，∠ABF=∠CBF，连接CF交DE于点G． 求证：DE⊥CF．

10. 已知：如图，在等边△ABC中，△C=△ABD=60°，AB=BC=AC，点D，E分别为BC，AC边上一点且AE=CD，连接AD，BE相交于点F．

11. 求证：△1=△2． 12.

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1.2截长补短 倍长中线

例题1、如图，已知在ABC中，延长BE交AC于F，求证： ACBE．AD是BC边上的中线，E是AD上一点，AFEF，

AFE

BDC

例题2、在RtABC中，BAC90，点D为BC的中点，点E、F分别为AB、AC上的点，且EDFD．以线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？

AEBFC

D

例题3、八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】

（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接BE，写出图中全等的两个三角形______ 【理解与应用】

（2）填空：如图2，EP是△DEF的中线，若EF=5，DE=3，设EP=x，则x的取值范围是______．

（3）已知：如图3，AD是△ABC的中线，∠BAC=∠ACB，点Q在BC的延长线上，QC=BC，求证：AQ=2AD．

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例题4、如图，在△ABC中，已知∠ABC=45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，CD与BM相交于点E，且点E是CD的中点，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N． （1）求证：△DBN≌△DCM；

（2）请探究线段NE、ME、CM之间的数量关系，并证明你的结论．

例题5、阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明． 已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE． 求证：AB=CD．

分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．

现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明．

例题8、（1）如图，四边形ABPC中，ABAC，BAC60，BPC120，求证：PBPCPA．

（2）如图，四边形ABCD中，ABBC，ABC60，P为四边形ABCD内一点，且APC120，求证：PAPCPDBD．

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1.3一线三等角

例1：已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB=CD，BC=DE，

⑴求证：AC⊥CE；

⑵若将△CDE沿CB方向平移得到①②③④等不同情形，ABC1D， 其余条件不变，试判断AC⊥C1E这一结论是否成立？若成立，给予证 明；若不成立，请说明理由.

EE EE AAAA

C BC1BDC1CDDCD(C)BC1BC1① ② ③ ④

例2：等腰直角△ABC，其中AB=AC，∠BAC=90°，过B、C作经过A点直线L的垂线，垂足分别为M、N． （1）你能找到一对三角形的全等吗？并说明．

（2）BM，CN，MN之间有何关系？若将直线l旋转到如图2的位置，其他条件不变，那么上题的结论是否依旧成立？

例3.（1）如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m， CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD＋CE．

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（2）如图，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝a，其中a为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD＋CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．

(3) 拓展与应用：如图，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状．

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1.4半角模型

1. 在等腰Rt△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90º，O为AB的中点，∠EOF＝45º，交CA于F，交BC的延长线于E. （1）求证：EF＝CE＋AF；

（2）如图2，当E在BC上，F在CA的反向延长线上时，探究线段AF、CE、EF之间的数量关系，并证明.

2. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180º，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝求证：EF＝BE＋FD.

∠BAD，

3. 如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，∠BDC＝120º，以D为顶点作一个60º的角，使其两边分别交AB于M，交AC于N，连接MN，则△AMN的周长是多少？

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4. 如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点O，点E、F分别在线段AB、BC上，连接EO、FO，满足∠EOF＝60º，连接EF. （1）①求证：OB＝OC； ②求∠BOC的度数； （2）求证：CF＝BE＋EF.

5. 在四边形ABDC中，AC＝AB，DC＝DB，∠CAB＝60º，∠CDB＝120º，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE＝BF.

（1）试说明：DE＝DF；

（2）在图1中，若G在AB上且∠EDG＝60º，试猜想CE、EG、BG之间的数量关系并证明； （3）若题中条件“∠CAB＝60º，∠CDB＝120º”改为“∠CAB＝，∠CDB＝满足什么条件时，（2）中的结论仍然成立？”（直接写结果，不需证明）.

，G在AB上，那么∠EDG

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