均值不等式练习题及答案

均值不等式练习题及答案

均值不等式又名基本不等式、均值定理、重要不等式。是求范围问题最有利的工具之一，在形式上均值不等式比较简单，但是其变化多样、使用灵活。尤其要注意它的使用条件。

a2?b21. 若a,b?R，则a?b?2ab 若a,b?R，则ab? 22 2. 若a,b?R，则

时取“=”） *a?b?ab

2若a,b?R，则a?b?*2ab 2?* a?ba2?b2

ab??3. 均值不等式链：若a、b都是正数，则，当且仅当a?b22?ab2

时等号成立。 平均数） 一、基本技巧 技巧1：凑项 例已知x?

技巧2：分离配凑4，求函数y?4x?2?1的最大值。x?5 x2?7x?10的值域。例求y?x?1

技巧3：利用函数单调性 例

求函数y?2的值域。 技巧4：整体代换 例已知x?0,y?0，且

19??1，求x?y的最小值。 xy 典型例题

1. 若正实数X，Y 满足2X+Y+6=XY ，则XY 的最小值是 a?b?22. 已知x＞0,y＞0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则的最小值cd

是 A.0 B.1 C. D.

23. 若不等式x+ax+4≥0对一切x∈平分圆x2+y2-2x-4y-6=0，则2+1的最小值是ab

A.1 B. C.4 D.3+22

5. 已知x>0,y>0，x+2y+3xy=8,则x+2y的最小值是 .

6. 已知x,y?R?，且满足xy??1，则xy的最大值为34 ab11?的最小值为 ab

1A B C 1 D 7. 设a?0,b? 0.3与3的等比中项，则

8. 若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是 A.428 B. C. D.65

9. 若a?0,b?0,a?b?2，则下列不等式对一切满足条件 的a,b恒成立的是． ①ab?1；

②；③ a2?b2?2；④a3?b3?3； ⑤11??ab

210.设a＞b＞0，则a?11?的最小值是 abaa?b1234 11.下列命题中正确的是

12A、y?x?的最小值是B 、y?的最小值是x

C、y?2?3x?4

x的最大值是2? D值是2?12. 若x?2y?1，则2x?4y的最小值是______ 、y?2?3x?4x的最小

均值不等式应用 一．均值不等式

1.若a,b?R，则a2?b2?2ab 若a,b?R，则ab 2. 若a,b?R*，则 a?b2 * a?b2 22

a?b时取“=”） ab 若a,b?R，则a?b?2 2 ab

a?b?若a,b?R，则ab??） ?? ? 2 a?b2

注：当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．求最值的条件“一正，二定，三取等”

均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域

y＝3x解：y＝3x＋ 11 y＝x＋xx 1

3x ＝∴值域为[，+∞） 2x 1 x· ＝2； x 1 x· =－2 x 1 ≥22x1

当x＞0时，y＝x＋≥x 11

当x＜0时， y＝x＋= －≤－2 xx ∴值域为

解题技巧：技巧一：凑项例1：已知x? 54 ，求函数y 4x?2? 14x?5 的最大值。 1

解：因4x?5?0，所以首先要“调整”符号，又?x? 54

,?5?4x?0，?y?4x?2? 1 4x?5

不是常数，所以对4x?2要进行拆、凑项， 2?3?1 ??3? 1? 5?4x?

4x?55?4x? 当且仅当5?4x? 15?4x

，即x?1时，上式等号成立，故当x?1时，ymax?1。

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

技巧二：凑系数

例1. 当时，求y?x的最大值。

解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x??8为定值，故只需将y?x凑上一个系数即可。

当

，即x＝2时取等号当x＝2时，y?x的最大值为8。 32

评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。变式：设0?x?

，求函数y?4x的最大值。 3 2

2x?3?2x?9

解：∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x?2?2x?2 222??

当且仅当2x?3?2x,即x? 3 3?

0,?时等号成立。?2? 技巧三：分离 例3. 求y? 的值域。 x?1

解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有的项，再将其分离。

x?7x?10 2 当 ,即 时 ,y?5?9。 技巧四：换元

解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。 y?

7?g恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。 ?B， g 当,即t=时

,y?技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f?x?

2 ax 的单调性。

例：求函数y?的值域。 解：令 t，则y? 1t 2 t? 1t

因t?0,t??1，但t?因为y?t? 1t 1t

解得t??1不在区间?2,，故等号不成立，考虑单调性。

52

在区间?1,单调递增，所以在其子区间?2,为单调递增函数，故y?

5 。

所以，所求函数的值域为?,。 2

练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. y? x?3x?1 x 2 , y?2x? 1x?3 ,x? y?2sinx? 23 1sinx ,x?

2．已知0?x?

1，求函数y?条件求最值 的最大值.；3．0?x? ，求函数y?.

1.若实数满足a?b?2，则3a?3b的最小值是分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且3a?3b定值，因此考虑利用均值定理求最小值，解：a和3b都是正数，3a?3b≥23?3?23

a b a?b 6

当3a?3b时等号成立，由a?b?2及3a?3b得a?b?1即当a?b?1

时，3a?3b的最小值是6．

变式：若log4x?log4y?2，求 1x 1y

的最小值.并求x,y的值

技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。：已知x?0,y?0，且

1x? 1x 9y 9y

1，求x?y的最小值。 1?x 9? x?y??y?

错解：?x?0,y?0，且．．

1，?x?y?? 1 故 x?y?min 9y 1。

错因：解法中两次连用均值不等式，在x?y?x? y，在1 x 条件是 1x 9y

即y?9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出

等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解：?x?0,y?0,

1x?9 19?y9x

10?6?10?1?1，?x?y??x?y xyxyy?? 当且仅当 yx 9xy

时，上式等号成立，又 1x 9y

1，可得x?4,y?12时，?x?y?min?1。 1y

变式：若x,y?R且2x?y?1，求1 的最小值

已知a,b,x,y?R且a?b?1，求x?y的最小值 xy y2

技巧七、已知x，y为正实数，且x＋＝1，求＋y 的最大值. 2 a＋b

分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤。

2 2 2 1

＋y 中y前面的系数为，＋y ＝x 2 2 2

1＋y2· ＝x· 21y ＋22 下面将x， 1y

分别看成两个因式：2 x＋2x＋2223 ＝＝即＋y ＝·x 224 2 1y3 ＋≤ 24 1

的最小值. ab

分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调技巧八：已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝

性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。

30－2b30－2b－b＋30b 法一：a＝，ab ·b＝

b＋1b＋1b＋1由a＞0得，0＜b＜15 －2t＋34t－311616

令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝－2＋34∵t＋≥2 ttt 1

∴ ab≤1∴ y≥ 当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。 18

法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥2ab∴0－ab≥ab令u＝ab则u2＋u－30≤0，－5≤u≤3

1

∴ ≤3，ab≤18，∴y≥18点评：①本题考查不等式 a?b2

ab的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等 t· 16 ＝t

式ab?a?2b?30出发求得ab的范围，关键是寻找到a?b 与ab之间的关系，由此想到不等式

a?b2

ab，这样将已知条件转换为含ab的不等式，进而解得ab的范围.

变式：1.已知a>0，b>0，ab－＝1，求a＋b的最小值。 2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。技巧 九、取平方

5、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝x ＋y 的最值. a＋ba＋b

解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，≤，本题很简单

22

3x ＋y

22y ）＝x＋2y ＝25

解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。

W＞0，W2＝3x＋2y＋2x y ＝10＋2x y ≤ 10＋ 2·＝10＋＝20 ∴ W≤20 ＝ 变式: 求函数y 12?x? 52

)的最大值。

解析：注意到2x?1与5?2x的和为定值。 y 2 4??48 32 2

又y?0，所以0?y?当且仅当2x?1=5?2x，即x? 时取等号。故ymax?

评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。

总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。应用二：利用均值不等式证明不等式 1．已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a

2 b?c

22 ab?bc?ca

1）正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：≥8abc 例6：已知a、b、c?R?，且a?b?c?1。求证：?

1 1??1?

111a??b??c?

分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，

又 1a?1? 1?aa b?ca a 1a 1?aa b?ca a

解：?a、b、c?R?，a?b?c?1。 1 。同理 1b 1? b ，?1? c 1c 。

上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得

1?1??1??1?a?b?c?。当且仅当时取等号。 ?1?1?1??8 3abcabc

应用三：均值不等式与恒成立问题例：已知x?0,y?0且 1x?9y

1，求使不等式x?y?m恒成立的实数m的取值范围。 解：令x?y?k,x?0,y?0, 10k 3k 1x 9y