2019年全国高中数学联赛A卷一试

参考答案及评分标准

说明：

1.评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.

2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1. 已知正实数a满足aa=(9a)8a，则loga(3a)的值为

．2.若实数集合{1,2,3,x}的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x的值为．

2

3.平面直角坐标系中，e是单位向量，向量a满足a⋅e=2，且a£5a+te



对任意实数t成立，则a的取值范围是．

4.设A,B为椭圆G的长轴顶点，E,F为G的两个焦点，AB=4,AF=2+3,P 为G上一点，满足 PE ⋅PF =2，则DPEF的面积为

．

5.在1,2,3,,10中随机选出一个数a，在-1,-2,-3,,-10中随机选出一个数b，则a2+b被3整除的概率为 ．

6.对任意闭区间I，用MI表示函数y=sinx在I上的最大值．若正数a满足M[0,a]=2M[a,2a]，则a 的值为

．7.如图，正方体ABCD-EFGH的一个截面经过顶点A,C及棱EF上一点K，且将正方体分成体积比为3:1的两部

EK

的值为 ． 分，则KF

HEKDABFG C

8.将6个数2,0,1,9,20,19按任意次序排成一行，拼成一个8位数（首位不为0），则产生的不同的8位数的个数为 ．

二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

9.（本题满分16分）在DABC中，BC=a,CA=b,AB=c．若b是a与c的等比中项，且sinA是sin(B-A)与sinC的等差中项，求cosB的值．

圆W与抛物线 G:y2=4x10. （本题满分20 分） 在平面直角坐标系xOy 中，

恰有一个公共点，且圆W与x 轴相切于G的焦点F ．求圆W的半径．

11.（本题满分20分）称一个复数数列{zn}为“有趣的”，若z1=1，且对

22

+2zz+z任意正整数n，均有4zn+1nn+1n=0．求最大的常数C，使得对一切有趣

的数列{zn}及任意正整数m，均有z1+z2++zm³C．