人力资源规划问题[雇佣、解雇问题]

宁波大学第一届数学建

模大赛

参赛队员:_____ _____ _____

指导老师:_____ _____ _____

人力资源规划问题

0. 摘要

本文首先根据已给数据和要求，列出了从第0年（现在）到第3年年初和年末各类员工的人数（见表4），再由每年年初的员工人数与表1中数据的相对应关系，及表1表2中的约束，将问题转化成一个多步骤的整数规划问题。其中问题(1）的目标函数为：第0年到第2年年末每一年企业解雇人数最少；而问题（2）的目标函数为：第0年到第2年年末每一年企业费用最少。针对第一个问题我们列出了三个整数线性规划模型，且三个模型中,后一个模型中的一些数据需由前一个模型的解得到。这样我们就确定了三年招工、再培训、解雇、超员雇用的方案。用同样方法我们也得到了当费用最少时，三年的招工、再培训、解雇、超员雇用的方案。接着比较两个问题的解，计算出每年每类岗位所节省的费用。结果见表5、表6、表7 。然后我们对模型的科学性和现实性进行了阐述和评价。最后，采用Markov模型对原有模型做了改进，引入时间序列，建立了动态规划模型。

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1. 问题重述

某民营企业正经历一系列变化，这要影响到企业未来几年的人力资源安排。由于企业装备了新机器，对不熟练工的需求相对减少，对熟练工和半熟练工的需求相对增加；同时，预计下一年度的贸易量将下降，从而减少对各类人力的需求。现有人数及对未来三年人力需求的估计数见下表： 分类 不熟练工 半熟练工 熟练工 现有人数 2000 1600 1000 第一年需求 1000 1500 1000 第二年需求 500 2000 1500 第三年需求 0 2500 2000 表1 因工人自动离职和其他原因，存在自然减员问题。有不少人在受雇后干不满一年就自动离职；

干满一年后，离职的情况就减少了。考虑到这一因素，设自然减员率如下表： 分类 不熟练工 半熟练工 熟练工 工作不满一年 25% 20% 10% 工作一年以上 8% 5% 5% 表2 若现在没有招工，所有的现有工人都是已受雇一年以上。对于招工、再培训、解雇、超员雇用，有以下的说明： 关于招工 每年能新招的各类人数：熟练工和不熟练工各不超过500人，半熟练工不超过800人。 关于再培训 每年可培训200名不熟练工成为半熟练工，每培训一名的费用开支为400元。培训半熟练工成为熟练工，培训一名开支为500元；培训人数不超过所训岗位当时熟练工人数的四分之一。可以将工人降低熟练等级使用，这虽然不需要企业支付什么费用，但这样的工人有50%将离职（这一减员要另外加到上述的自然减员上）。 关于解雇 解雇一名不熟练工需支付他300元。解雇一名半熟练工或熟练工需支付他600元。 关于超员雇用 整个企业可超需要多雇用150人。额外费用每人每年为：不熟练工1500元；半熟练工2000元；熟练工3000元。 表3 问题：

（1）确定未来三年招工，人员培训，解雇和超员雇用的决策方案，使企业达到解雇人数最少的目标；

（2）确定未来三年招工，人员培训，解雇和超员雇用的决策方案，使企业达到费用最少的目标； （3）比较问题（1）（2）的费用，计算出问题（2）能节省多少费用？并导出每年每类岗位所节省的费用。

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2. 模型假设

为了简化问题，除了题目中已经存在的条件和假设，我们还作了下列合理假设： 假设1：企业每年年初招工，并在年末根据整一年的绩效考核与素质评估，确定再培训

的员工和降级的员工，且根据市场需求解雇一些员工。

假设2：将不熟练工、半熟练工、熟练工对应分成一、二、三，三个熟练等级，工人每

年评估中，降级员工只降低一级。

假设3：在下一年初对上一年末确定的员工进行培训，新招员工不予以培训。

假设4：企业在招工、培训、解雇上的时间都很短，与整年的工作时间相比可以忽略不

计，不影响员工的正常工作。

假设5：为保证企业员工的持续供给，每年年初的各级员工的数目多于表1人力需求的

估计数。

假设6：每年年初招聘的员工中，区分普通雇用和超员雇用，超员雇用的工人一年后，

转变为普通工人。第二年若有需要重新招收超员雇用工人。

符号说明表： 符号 符号含义 aij bij cij dij 表示第j年第i级员工的招工人数，其中j=0,1,2,3;i=1,2,3 表示第j年第i级员工培训到第i+1级员工的人数，其中j=0,1,2,3;i=1,2, 表示第j年第i级员工解雇的人数，其中j=0,1,2;i=1,2,3 表示第j年第i+1级员工降级到第i级员工的人数，其中j=0,1,2,3;i=1,2, 表示第j年第i级员工的超员雇用人数，其中j=0,1,2,3;i=1,2,3 表示第j年第i级员工年初总人数，其中j=0,1,2,3;i=1,2,3 表示第j年第i级员工年末总人数，其中j=0,1,2,3;i=1,2,3 eij nij , nij 3. 模型建立

（一）对问题的讨论

人力资源规划（Human Resources Planning）是企业生产管理中的一个重要内容。它包括员工招聘、员工培训与开发、员工绩效评估和薪酬管理、员工解聘等。题目要求确定未来三年的招工、再培训、解雇和超员雇用的方案，以期达到预期的目标。考虑这些方面对企业生产效益，人力资源配置的影响。

（二）多步骤整数规划模型的建立

根据表1表2 表3及问题中的一些文字说明，和模型的假设，可以确定第0年（现在）到第3年，年初和年末各类员工的人数，如下表：

- 3 -

第0年 不熟练工人数 现有n10 ,年末n10 2000 2000（1-8%）-c10+0.5d10 1600 1600（1-5%）-c20+0.5d20-d10 1000 1000（1-5%）-c30-d20 ,n10+a11-b11+e11 ,（n10-b11）（1-8%）+（a11+e11）（1+25%）-c11+0.5d11 ,n20+a21-b21+e21+b11 半熟练工人数 现有n20 ,年末n20 熟练工人数 现有n30 ,年末n30 第1年 不熟练工人数 年初n11 ,年末n11 半熟练工人数 年初n21 ,,年末n21 （n20-b21+b11）（1-5%）+（a21+e21）（1-20%）-c21-d11+0.5d21 熟练工人数 年初n31 ,年末n31 ,n30+a31+e31+b21 ,（n30+b21）（1-5%）+（a31+e31）（1-10%）-c31-d21 不熟练工 人数 第半熟练工2人数 年 熟练工人数 年初n12 ,年末n12 ,n11+a12-b12+e12 ,(n11-b12)(1-8%)+(a12+e12)(1-25%)-c12+0.5d12 ,n21+a22-b22+e22+b12 ,(n21+b12-b22)(1-5%)+(a22+e22)(1-20%)-c22-d12+0.5d22 ,n31+a32+e32+b22 ,(n31+b22)(1-5%)+(a32+e32)(1-10%)-c32-d22 年初n22 ,年末n22 年初n32 ,年末n32 第不熟练工3人数 年 半熟练工人数 熟练工人数 年初n13 年初n23 年初n33 表4 ,n12+a13-b13+e13 ,n22+a23-b23+e23+b13 ,n32+b23+a33+e33 - 4 -

注：1）表中所有变量都是非负整数。

2）由于题目只对企业三年内的人力资源规划，所以表中并没有给出第三年年末的

各类工人数。

3）上年年末确定解雇的员工，假定到下年初离开。

根据表4所得结果，建立以下最优化模型：（下述模型中各变量均为非负整数约束） 问题（1）：确定解雇人数最少目标模型：

Min第1年：Min第2年： zc10c20c30n111000n211500n311000n11n21n213650a11500(1.1) a21800a31500b11200b21250e11e21e31150zc11c21c31n12500n222000n321500n12n22n224150a12500(1.2) a22800a32500b12200b22250e12e22e32150- 5 -

Min第3年：zc12c22c32n130n232500n13n332000n23n234650a13500(1.3) a23800a33b13b23e23500200375e33150e13问题（2）：确定费用最少目标模型：

z=400b11+500b21+300c10+600c20+Min600c+1500e+2000e+3000e20112131n111000n211500n311000n11n21n213650第1年：(2.1)

a50011a21800a31500b11200b21250e11e21e31150z=400b13+500b23+300c12+600c22+Min600c+1500e+2000e+3000e32132333n12500n222000n321500n12n22n224150第2年：(2.2)

a50012a22800a32500b12200b22250e12e22e32150

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z=400b12+500b22+300c11+600c21+Min600c+1500e+2000e+3000e31122232n130n232500n332000n13n23n234650第3年：(2.3) a13500a23800a33500b13200b23375e13e23e33150

4. 模型求解与结果

4.1模型求解

利用数学软件LINGO9.0求解上述线性规划问题（程序见附录），得到解如下： 第1年： 差额 （元） （1.1）（人） （2.1）（人） A11 A21 A31 B11 B21 C10 C20 C30 D10 D20 E11 E21 E31 解雇人数 （人） 总费用 （元） 0 0 0 200 250 525 0 0 70 200 0 0 0 525 362500 表5 不熟练工节省费用为：27500 元； 半熟练工节省费用为：125000 元； 熟练工节省费用为： 0 元； 第2年：

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0 0 50 0 0 700 0 0 20 0 0 0 0 700 210000 0 0 0 80000 125000 -52500 0 0 0 0 0 0 0 152500 A12 A22 A32 B12 B22 C11 C21 C31 D11 D21 E12 E22 E32 解雇人数 （人） 总费用 （元） （1.2）（人） 0 625 300 200 250 208 0 0 0 0 0 0 0 208 267400 表6 （2.2）（人） 0 625 500 0 50 408 0 0 0 0 0 0 0 408 147400 差额 （元） 0 0 0 80000 100000 -60000 0 0 0 0 0 0 0 120000 不熟练工节省费用为：20000 元； 半熟练工节省费用为：100000 元； 熟练工节省费用为： 0 元； 第3年： （1.3）（人） A13 A23 A33 B13 B23 C12 C22 C32 D12 D22 E13 E23 E33 解雇人数 （人） 总费用 （元） 0 800 215 200 375 248 0 0 0 0 0 69 0 248 479900 表7 不熟练工节省费用为：20000 元； 半熟练工节省费用为：280500 元； 熟练工节省费用为： 0 元；

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（2.4）（人） 0 784 500 0 90 448 0 0 0 0 0 0 0 448 179400 差额 （元） 0 0 0 80000 142500 -60000 0 0 0 0 0 138000 0 300500 4.2结果分析

从上述结果可以看出：

1。由于没有考虑招员的费用，增加的员工时，大部分来自招员，而非其他渠道（如培训和超员雇用）；

2。根据市场的要求和企业三年的需求变化，且相比其他类员工而言，解雇不熟练工费用最低，所以企业中解雇的员工都集中在不熟练工上，；

3。由于半熟练工三年持续增加，第三年还要超员雇用，而不熟练工在减少，所以两个不同目标比较时，节省的费用都集中在半熟练工上。

4。由于熟练工三年也是持续增加，供不应求，且熟练工降级等都不会产生费用，而是将费用转嫁到了半熟练工的人员培训上。

5. 模型评价和改进

5.1模型优点：

1。模型简单有效，易于推广，虽然模型是几个简单的整数规划的拼凑，但正由于这样，模型可以作为其他研究的基础加以推广。

2。应用性强，作为解决人力资源规划的一个模型，对于其他规划问题也有借鉴作用。 3。解决本问题的一些方法，有必要的科学理论依据（运筹学理论）（参考文献[1]），可操作性强。

5.2模型不足和待改进方面：

1。虽然本问题用很多数据求解，但对问题的解决过程中仍具有较强的主观因素，这体现在表4中各类员工人数的确定，这是本模型的基础，显然不同的模型假设会产生不同的人数确定，从而影响到整个结果。

2。题目和文中假设都没有给出招员费用，这势必在求费用最优化的过程中，增加员工时，倾向招员而非培训和超员雇用。所以若将招员费用考虑在内，可以建立起更符合实际的模型，更具适用性。

3。对于表1中的人力需求估计，我们只取表4中每年年初的人数与之形成约束条件，存在疑义，是否取年末或年初年末的平均更好，有待进一步考虑。

4。由于本模型过于简单，只是整数规划的小小应用，需要建立起理论性更强模型对原问题做一下改进，如著名的Markov模型在人力资源规划方面的应用。 5.3模型改进

马尔可夫预测方法是以俄国数学家A。A。Markov的名字命名的一种预测方法，它将时间序列看作一个随机过程，通过对事物不同状态的初始概率及状态之间的转移概率的研究，预测事物的未来状态。在预测过程中，可以建立变量之间相互关系。对于该人力资源规划问题，我们可以找到企业每年的招工人数、再培训人数、解雇人数、降级人数、超员雇用人数与企业对未来三年中每年人力需求的估计数之间关系，从而为我们求解线性规划问题提供约束条件（参考文献[2]）。

设njt为时刻t时企业内第j 类人员的人数；Pij为企业内人员从第i类转移为第j类的概率；ajt为在时间(t-1,t)内从外界补充进入第j类的人数；djt 为时刻t时企业解雇第j 类人员的人数；ejt 为时刻t时企业超员雇用第j 类人员的人数；。并且，引入向量表达式：

N(t)=(n1t,n2t,…,nkt) , A(t)= (a1t,a2t,…,akt) D(t)= (d1t,d2t,…,dkt) , E(t)= (e1t,e2t,…,ekt);

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P11P21P(Pij)kkPk1P12P1kP22P2k (1)

Pk2Pkk 从而，N(t)表示时刻t时企业内各类人员的人数，R (t)表示在时间(t-1,t)内各类从外界补充进入的人数，P为该企业人员的转移概率矩阵。根据人员转移的规律，可得到如下关系式：

N(t)=N( t-1)P+R(t)，在此关系式中，至关重要的是如何正确在确定转移矩阵P。

因此，现在的问题是要确定转移概率。又由于统计资料有限，为方便起见，概率用频率来代替：Pij=lij/li。 (i,j=1,2,…,k)，其中，第i类人员的初始人数li。的计算公式为：

lilij (i1,2,,k) (2)

jk即第i类人员转化为第j类人员的概率可由某一历史时段内转化为第j类人员的原第i类人员的人数占第i类人员的初始人数的比值来表示，这是合理的。 对于原第i类人员来说，他们会有三种可能的流向： （1）仍留在第i类中；

（2）转入企业中的其他类别（包括培训升级，降级），即第j类(j=1,2,…,k且j≠i); （3）自然流失，退出企业。

另外我们这里假设第（3）种情况仍属于向企业内部一个虚拟的部门转移。 现在我们可以预测第t+1年时，企业内各类人员的人数为：

N(t+1)=N(t)P+A(t+1)+E(t+1)-D(t) (t=0,1,2,…) (3)

由企业每年人力需求估计数，可引入向量：W(t)=(w1t,w2t,w3t,w4t) 其中wjt (j=1,2,3) 为企业第t年对第j级工人的需求估计数,w4t为企业第t年第j级工人转移到虚拟部门的人数，并假定n4t，a4t，d4t，e4t均表示虚拟的工人数，对于约束和结果没有影响。 所以可得到：

N(t+1)=N(t)P+A(t+1)+E(t+1)-D(t)W(t) (t=0,1,2,3) (4)

因此，可以得到如下约束条件为：

b11b110.92-00.0820002000b21d10b210.5d100.5d100.95--0.05+N(1)=[n11,n21,n31,n41]=[2000,1600,1000,0]16001600160016001600+

0.5d20d200.5d2000.950.05+1000100010000001[0.75a11,0.8a21,0.9a31,0]+[e11,e21,e31,0]-[c11,c21,c31,0]≥[1000,1500,1000,0]；

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b12b120.92-00.08n11n110.5d11b22d11b220.5d110.95--0.05+N(2)= [n12,n22,n32,n42]=[ n11,n21,n31,n41]n21n21n21n21n21+

0.5d21d210.5d2100.950.05+n31n31n310001[0.75a12,0.8a22,0.9a32,0]+[e12,e22,e32,0]-[c12,c22,c32,0]≥[500,2000,1500,0]；

b130.92-n120.5d12N(3)= [n13,n23,n33,n43]=[ n12,n22,n32,n42]n2200b13n12b23d120.95--n22n220.5d22n3200b23n220.950d22n320.5d120.05+n22+ 0.5d220.05+n3210.08[0.75a13,0.8a23,0.9a33,0]+[e13,e23,e33,0]-[c13,c23,c33,0]≥[0,2500,1000,0]。

a1t≤500 , a2t≤800 , a2t≤500 , b1t≤200 , b2t≤n3t-1/4 , e1t+e2t+e3t≤150 (t=1,2,3) 上述约束条件与目标函数便构成了一个动态的线性规划问题。

6. 参考文献

[1] 胡运权 运筹学教程 北京 清华大学出版社，1990年1月第二版 [2] 苏妮娜 对《Markov链在人力资源供给预测中的应用》一文的补充 数理统计与管理 21卷1期 2002年1月

7. 附录

（1.1）：

MIN c10+c20+c30 ST

a11-b11-c10+0.5d10+e11>-840

a21-b21+b11-c20+0.5d20-d10+e21>-20 a31+b21-c30-d20+e31>50

a11-b11-c10+0.5d10+e11+a21-b21+b11-c20+0.5d20-d10+e21+a31+b21-c30-d20+e31<-660 1.0a11<500 1.0a21<800 1.0a31<500 1.0b11<200 1.0b21<250

e11+e21+e31<150 END

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（2.1）：

MIN 400b11+500b21+300c10+600c20+600c30+1500e11+2000e21+3000e31 ST

a11-b11-c10+0.5d10+e11>-840

a21-b21+b11-c20+0.5d20-d10+e21>-20 a31+b21-c30-d20+e31>50

a11-b11-c10+0.5d10+e11+a21-b21+b11-c20+0.5d20-d10+e21+a31+b21-c30-d20+e31<-660 1.0a11<500 1.0a21<800 1.0a31<500 1.0b11<200 1.0b21<250 END （1.2）：

MIN c11+c21+c31 ST

a12-b12-c11+0.5d11+e12>-558

a22-b22+b12-c21+0.5d21-d11+e22>575 a32+b22-c31-d21+e32>550

a12-b12-c11+0.5d11+e12+a22-b22+b12-c21+0.5d21-d11+e22+a32+b22-c31-d21+e32<717 1.0a12<500 1.0a22<800 1.0a32<500 1.0b12<200 1.0b22<250

e12+e22+e32<150 END （2.2）：

MIN 400b12+500b22+300c11+600c21+600c31+1500e12+2000e22+3000e32 ST

a12-b12-c11+0.5d11+e12>-558

a22-b22+b12-c21+0.5d21-d11+e22>575 a32+b22-c31-d21+e32>550

a12-b12-c11+0.5d11+e12+a22-b22+b12-c21+0.5d21-d11+e22+a32+b22-c31-d21+e32<717 1.0a12<500 1.0a22<800 1.0a32<500 1.0b12<200 1.0b22<250

e12+e22+e32<150

- 12 -

END （1.3）

MIN c12+c22+c32 ST

a13-b13-c12+0.5d12+e13>-598

a23-b23+b13-c22+0.5d22-d12+e23>694 a33+b23-c32-d22+e33>590

a13-b13-c12+0.5d12+e13+a23-b23+b13-c22+0.5d22-d12+e23+a33+b23-c32-d22+e33<836 1.0a13<500 1.0a23<800 1.0a33<500 1.0b13<200 1.0b23<375

e13+e23+e33<150 END （2.3）

MIN 400b13+500b23+300c12+600c22+600c32+1500e13+2000e23+3000e33 ST

a13-b13-c12+0.5d12+e13>-598

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