【决胜高考】2016高考数学专题复习导练测 第四章 第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切 理 新人教A版

一、选择题

π1. 已知锐角α满足cos 2α＝cos －α，则sin 2α等于( ) 4

11

A. B．－ 22C.

22 D．－ 22

π解析 由cos 2α＝cos －α

4

得(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝由α为锐角知cos α＋sin α≠0. ∴cos α－sin α＝1

∴sin 2α＝.

2答案 A

1＋cos 2α12．若＝，则tan 2α等于

sin 2α25A. 4

5B．－

4

2

2

(cos α＋sin α) 2

21，平方得1－sin 2α＝. 22

( )．

4

C. 34D．－ 3

1＋cos 2α2cosαcos α1解析 ＝＝＝，

sin 2α2sin αcos αsin α22tan α44

∴tan α＝2，∴tan 2α＝＝＝－，故选D. 2

1－tanα1－43答案 D

3．已知α，β都是锐角，若sin α＝A.C.π

4

510，sin β＝，则α＋β＝ ( )． 510

3π

B.

4π3π

D．－和－ 44

π3π

和 44

2522解析 由α，β都为锐角，所以cos α＝1－sinα＝，cos β＝1－sinβ＝

53102π

.所以cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β＝，所以α＋β＝. 1024

1

答案 A

π4

4．已知sin θ＋cos θ＝0<θ<，则sin θ－cos θ的值为 ( )．

43A.2

3

B．－

2

3

1

C. 3

1D．－ 3

41672

解析 ∵sin θ＋cos θ＝，∴(sin θ＋cos θ)＝1＋sin 2θ＝，∴sin 2θ＝，

399又0<θ<

π2

，∴sin θ2. 3

1－sin 2θ＝－答案 B

π15．若tan α＝lg(10a)，tan β＝lg，且α＋β＝，则实数a的值为 4a

B.

( )．

A．1

1

101

C．1或

10

D．1或10

tan α＋tan β

解析 tan(α＋β)＝1⇒＝

1－tan αtan β1

所以lg a＝0或lg a＝－1，即a＝1或.

10答案 C

a2

＝1⇒lga＋lg a＝0，11－lg10a·lga

1lg10a＋lgπ7π436．已知cosα－＋sin α＝，则sinα＋的值是( )．

665232344

A．－ B. C．－ D. 5655π4333解析 cosα－＋sin α＝⇒sin α＋cos α

6522π443＝⇒sinα＋＝， 655

7ππ4所以sinα＋＝－sinα＋＝－. 665答案 C 二、填空题

π1π7．已知cos α＋＝，α∈0，，则cos α＝________. 432

2

ππ3ππ解析 ∵α∈0，，∴α＋∈，，

2444π22∴sin α＋＝. 43ππ故cos α＝cos [α＋－]

44

ππππ＝cos α＋cos＋sin α＋sin

4444122224＋2

＝×＋×＝. 323264＋2答案

6

π48．设α为锐角，若cosα＋＝，则 65πsin2α＋的值为________．

12π4解析 ∵α为锐角且cosα＋＝，

65π3ππ2π∴α＋∈，，∴sinα＋＝.

36566πππ∴sin2α＋＝sin2α＋－

6412ππππα＋α＋＝sin 2cos －cos 2sin 6644πππ22＝2sinα＋cosα＋－2cosα＋－1

66263424212272172

＝2××－2×－1＝－＝.

5525505025答案

172

50

2

9．函数f(x)＝2cosx＋sin 2x的最小值是________．

π2

解析 ∵f(x)＝2cosx＋sin 2x＝1＋cos 2x＋sin 2x＝1＋2sin2x＋，∴f(x)min

4＝1－2. 答案 1－2

ππ2

10．方程x＋3ax＋3a＋1＝0(a>2)的两根为tan A，tan B，且A，B∈－，，则A＋B22

＝________.

3

解析 由题意知tan A＋tan B＝－3a<－6，tan A·tan B＝3a＋1>7，∴tan A<0，tan B<0， tan A＋tan B－3atan(A＋B)＝＝＝1.

1－tan Atan B1－3a＋1

πππ∵A，B∈－，，∴A，B∈－，0， 222

3π

∴A＋B∈(－π，0)，∴A＋B＝－. 43π

答案 －

4三、解答题

ππ2

11．已知函数f(x)＝sin2x＋＋sin2x－＋2cosx－1，x∈R.

33(1)求函数f(x)的最小正周期；

ππ(2)求函数f(x)在区间－，上的最大值和最小值． 44

ππππ

解 (1)f(x)＝sin 2x·cos＋cos 2x·sin＋sin 2x·cos－cos 2x·sin＋cos

3333π2x＝sin 2x＋cos 2x＝2sin2x＋.

42π

所以，f(x)的最小正周期T＝＝π.

2

πππππ(2)因为f(x)在区间－，上是增函数，在区间，上是减函数．又f－＝48844ππππ－1，f＝2，f＝1，故函数f(x)在区间－，上的最大值为2，最小值为

8444

－1.

12．已知sin α＋cos α＝

π335πππ，α∈0，，sinβ－＝，β∈，.

445542

(1)求sin 2α和tan 2α的值； (2)求cos(α＋2β)的值．

92

解 (1)由题意得(sin α＋cos α)＝，

594

即1＋sin 2α＝，∴sin 2α＝.

55

3π2

又2α∈0，，∴cos 2α＝1－sin2α＝，

25sin 2α4

∴tan 2α＝＝.

cos 2α3

4

π3ππππ(2)∵β∈，，β－∈0，，sinβ－＝，

445442π4∴cosβ－＝，

45

πππ24于是sin 2β－＝2sinβ－cosβ－＝.

44425π24又sin 2β－＝－cos 2β，∴cos 2β＝－， 4257π又2β∈，π，∴sin 2β＝，

2521＋cos 2α4π2

又cosα＝＝，α∈0，，

425255

∴cos α＝，sin α＝.

55

∴cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β 252457115

＝×－－×＝－.

5252552513．函数f(x)＝6cos

2

ωx＋ 3sin ωx－3(ω＞0)在一个周期内的图象如图所示，A为图2

象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形． (1)求ω的值及函数f(x)的值域；

8 3102(2)若f(x0)＝，且x0∈－，，求f(x0＋1)的值． 533解 (1)由已知可得，f(x)＝3cos ωx＋ 3sin ωx πωx＋＝23sin， 3

又正三角形ABC的高为23，从而BC＝4，

2ππ

所以函数f(x)的周期T＝4×2＝8，即＝8，ω＝. ω4函数f(x)的值域为[－23，23]． 83

(2)因为f(x0)＝，

5由(1)有f(x0)＝23sin即sin

πx0＋π＝83，

345

πx0＋π＝4. 345

πx0πππ102由x0∈－，，知＋∈－，，

432233

5

所以cos

πx0＋π＝

34423

1－＝. 55

故f(x0＋1)＝23sin＝23sin＝23sin

πx0＋π＋π

434

πx0＋π＋π

344

πx0＋πcosπ＋cosπx0＋πsinπ

433444





232764

＝23××＋×＝.

5252514．(1)①证明两角和的余弦公式

C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； ②由C(α＋β)推导两角和的正弦公式

S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.

341π(2)已知cos α＝－，α∈π，π，tan β＝－，β∈，π， 2532求cos(α＋β)．

解 (1)证明 ①如图，在直角坐标系xOy内作单位圆O，并作出角α，β与－β，使角α的始边为Ox轴非负半轴，交⊙O于点P1，终边交⊙O于点P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于点P3，角－β的始边为OP1，终边交⊙O于点P4.

则P1(1,0)，P2(cos α，sin α)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，P4(cos(－β)，sin(－β))．

由P1P3＝P2P4及两点间的距离公式，得

[cos(α＋β)－1]＋sin(α＋β)＝[cos(－β)－cos α]＋[sin(－β)－sin α]，展开并整理，得2－2cos(α＋β)＝2－2(cos αcos β－sin αsin β)． ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. ②由①易得，cossin

2

2

2

2

π－α＝sin α，



2

π－α＝cos α. 2

πsin(α＋β)＝cos －α＋β

2π＝cos－α＋－β

2ππ＝cos－αcos(－β)－sin－α

22

＝sin αcos β＋cos αsin β.

6

sin(－β)



∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β. (2)∵α∈π，32π，cos α＝－435，∴sin α＝－5. ∵β∈π2，π1，tan β＝－3，

∴cos β＝－31010，sin β＝10

10.

cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β

＝4－5310×－10－－35×1010

＝31010. 7