常用拉普拉斯变换及反变换

1.表A-1 拉氏变换的基本性质 1 齐次性 线性定理 叠加性 2 微分定理 一般形式 L[af(t)]=aF(s) L[f1(t)±f2(t)]=F1(s)±F2(s) df(t)]=sF(s)−f(0)dtd2f(t)L[（0） ]=s2F(s)−sf(0)ٛ−f′2dt ML[dnf(t)L[]=snF(s)−ndtdk−1f(t)(k−1)f(t)=dtk−1 ∑sk=1nn−kf(k−1)(0)初始条件为0时 dnf(t)n]=sF(s) L[dtnL[∫f(t)dt]=2 3 积分定理 一般形式 F(s)[∫f(t)dt]t=0+ss2F(s)[∫f(t)dt]t=0[∫∫f(t)(dt)]t=0 L[∫∫f(t)(dt)]=2++ss2sM共n个}}nF(s)1nL[∫L∫f(t)(dt)]=n+∑n−k+1[∫L∫f(t)(dt)n]t=0sk=1s共n个初始条件为0时 4 延迟定理（或称t域平移定理）5 衰减定理（或称s域平移定理）6 终值定理 7 初值定理 8 卷积定理 }F(s)L[∫L∫f(t)(dt)n]=n s共n个L[f(t−T)1(t−T)]=e−TsF(s) L[f(t)e−at]=F(s+a) limf(t)=limsF(s) t→∞s→0limf(t)=limsF(s) t→0s→∞L[∫f1(t−τ)f2(τ)dτ]=L[∫f1(t)f2(t−τ)dτ]=F1(s)F2(s) 00tt 419

2．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表 序号 拉氏变换E(s) 时间函数e(t) δ(t) δT(t)=∑δ(t−nT) n=0∞Z变换E(z) 1 z z−11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 1 −Ts1−e1 s1(t) t t22z z−11 2s1s3Tz(z−1)2 Tz(z+1)2(z−1)321sn+1tn n!(−1)n∂nzlim() n−aTa→0n!∂az−ezz−e−aT1s+ae−at te−at 1(s+a)2 Tze−aT(z−e−aT)2a s(s+a)1−e−at(1−e−aT)z (z−1)(z−e−aT)b−a (s+a)(s+b)e−at−e−bt sinωt zz− −aT−bTz−ez−ezsinωT 2z−2zcosωT+1z(z−cosωT) z−2zcosωT+12ωs2+ω2 ss2+ω2cosωt ω(s+a)+ω22e−atsinωt e−atze−aTsinωT 2−aT−2aTz−2zecosωT+ez2−ze−aTcosωTz2−2ze−aTcosωT+e−2aTz z−as+a(s+a)2+ω2cosωt at/T 1 s−(1/T)lna 420

3． 用查表法进行拉氏反变换

用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设F(s)是s的有理真分式

B(s)bmsm+bm−1sm−1+L+b1s+b0

F(s)= （n>m） =

A(s)ansn+an−1sn−1+L+a1s+a0

式中系数a0,a1,...,an−1,an，b0,b1,Lbm−1,bm都是实常数；m,n是正整数。按代数定理可将F(s)展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① A(s)=0无重根

这时，F(s)可展开为n个简单的部分分式之和的形式。

n

cicncc1c2

F(s)=++L++L+=∑i （F-1）

s−s1s−s2s−sis−sni=1s−si

式中，s1,s2,L,sn是特征方程A(s)＝0的根。ci为待定常数，称为F(s)在si处的留数，可按下式计算：

或

ci=lim(s−si)F(s) （F-2）

s→si

ci=

B(s)

（F-3）

A′(s)s=s

i

式中，A′(s)为A(s)对s的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数

n⎡nci⎤−st

f(t)=L[F(s)]=L⎢∑⎥＝∑cie (F-4)

⎣i=1s−si⎦i=1

−1

−1

i

②

A(s)=0有重根

设A(s)=0有r重根s1，F(s)可写为

F(s)=

B(s)

r

(s−s1)(s−sr+1)L(s−sn)

=

cicncrcr−1c1cr+1

LLL ++++++++rr−1

(s−s1)(s−s1)(s−s1)s−sr+1s−sis−sn

式中，s1为F(s)的r重根，sr+1，…, sn为F(s)的n-r个单根；

421

其中，cr+1，…, cn仍按式(F-2)或(F-3)计算，cr，cr−1，…, c1则按下式计算：

cr=lim(s−s1)rF(s)

s→s1

cr−1=lim

s→s1

d

[(s−s1)rF(s)] ds

M

cr−j

1d(j)

=lim(j)(s−s1)rF(s) (F-5) j!s→s1ds

M

1d(r−1)

c1=lim(r−1)(s−s1)rF(s)

(r−1)!s→s1ds

原函数f(t)为

f(t)=L

−1

[F(s)]

⎡crcicn⎤cr−1c1cr+1

LLL=L−1⎢++++++++⎥ rr−1

(s−s1)s−sr+1s−sis−sn⎦(s−s1)⎣(s−s1)

n

cr−1r−2⎡cr⎤str−1

=⎢t+t+L+c2t+c1⎥e+∑ciest （F-6）

(r−2)!i=r+1⎣(r−1)!⎦

1

i

422