选修2-2《导数及其应用》的教学建议

福建省南平市高级中学 林奕生 （）

我们知道人教版A选修2-2中微积分的设计主线是：瞬间速度—变化率—导数—导数应用—定积分，这与传统大学中微积分的设计主线是不同的。在丢掉表达的精确与形式化的严谨后，进行微积分概念教学与复习，学生能否接受？能力如何培养？教学怎样切入？就理科2-2一章教学实践，从概念教学与教学切入点的角度谈几点建议。

一、

适度解读概念，分层递进要求

1、对于极限概念：传统微积分教学中，导数、积分的概念都是用极限定义的，现在讲导数、积分要避开极限或是“没有极限下的导数”，是不妥的，因为，学生此前没接触过极限概念，现遇到了极限自然会产生疑问，为了帮助学生理解，教师就得描述、解释、举例、补充，实践说明，将函数极限知识提前上一些，淡化形式，重在极限思想的描述是可取的。注意“适度”提出函数的极限，不去追求理论上的抽象性和严谨性。

2、对于导数定义：在定义f给出定义的几种变化形式：f''fx0=limx0xxlimx0f(x0x)f(x0)给出后，可以

xx=limylimx0x0f(x0)f(x0x)；以及

xf(x)f(x0)f(x0x)f(x0)y'lim；或fx=lim；而

xx0(x)xx0x0xx0xf(x)f(x0)xxx0，当x0时，xx0，所以f(x0)lim。通过比较理解实

x0xx0f'x=lim质。另外，在导数定义教学中要防止过量的技巧变形练习，避免造成学生过重的学习负担。

3、对于积分定义：定积分的定义是由实际问题抽象概括出来的。它的解决过程充分体现了变量“由直到曲”、“由近似到精确”、“由有限到无限”的极限的思想方法，对于它的“四步曲”①分割、②替代、③求和、④取极限，教学中应对概念作进一步解读：

（1）把闭区间［a，b］用n＋1个分点（包括两个端点x0a,xnb）分为任意n个小区间，并非要求一定分成n等份，只是在有的问题中，为了解题方便，才用n等分的方法去布列分点。

（2）在每个小区间xi上，点的取法是任意的，它可以取在小区间的中点，即

ixixi1，也可以取在小区间的两个端点，即ixi或ixi1，还可以取在小区间2的其他任何位置（i＝1，2，…，n）。

（3）从几何意义上讲，f(i)xi（i＝1，2，…，n）表示以xi为底边，以f(i)为高的第i个小矩形的面积，而不是第i个小曲边梯形的面积，和式

n1i0f()xii0in1i表示n个小

矩形的面积的和，而不是真正的曲边梯形的面积，但和式

f()xi可以近似地表示曲

边梯形的面积，一般说来，分法越细，近似程度也就越高。 （4）总和

f()xii0n1i取极限时的极限过程为“xi0”（n），当分割无限

变细，即n时，不一定能保证和式

f()xii0n1i的极限值就是曲边梯形的面积，只有

在分点无限增多的同时，保证每个小区间的长度也无限地缩小，才是真正的曲边梯形的面积。 二、

澄清易混概念，达到拨乱反正

由于导数涉及函数的连续性、可导性、单调性及函数的极限等，学生往往会误认一些关系或结论，因此，教师要通过反例、图像、分析错解等，破解的学生臆造，达到拨乱反正之效。

1、 导数为零的点与极值点。 “可导函数在x函数在x例1 函数

x0处有极值则f(x0)0；反之，使f(x0)0的点却不一定能得出

x0有极值”。反例如下：

f(x)x3ax2bxa2在x1时有极值10，求实数a、b。

简析：答案是a4,b11，而学生往往会多出一解a3,b3。 2、 f(x)0不是函数单调递增的充要条件。 例2 函数

f(x)x3ax1在R上单调递增，求实数a的取值范围。

简析：f(x)0则数的单调性。如：

f(x)单调递增，但f(x)0在一些孤立点处成立并不妨碍函

f(x)x3有f(0)0，但函数f(x)在R上单调递增。答案a0。

三、 关注反向问题，培养逆向思维

1、 用定积分定义求极限

1nk例3 用积分定义计算：limsin。

nnk0n简析：由于

f(x)sinx在x[0,1]上连续，所以定积分0sinxdx存在。

1①[0，1]分成n个小段，

101k即小矩形的宽, 而小矩形的高为：f(k)sinnnn1nk12；③由定积分定义得：limsin=sinxdx=

nnk0n0；

1nk②作和为：sinnk1n。

2、由于导数是是高考必考内容，纵观2007课改区高考试卷，该类问题出现逆向思维题形，因此，不论教学或是作为复习，教师都得突出能力培养，强化综合训练。 例4（最值逆向问题）已知函数f(x)x31，若x[1,2]时，x2xc（c为常数）

2f(x)c2恒成立，求c的范围。

简析：令g(x)x31x2x，原命题等价于g(x)c2c在x[1,2]上恒成立；22,有[g(x)]maxcc。求导得：g(x)(x1)(3x2)列表表如下：

x 1 1 2g(x) 22(1,)  3322 272(,1) 3 1 (1,2) 22 2 3 2由表知函数f(x)在x[1,2]上的最大值为2，因此，2cc， 解得：c(,1)(2,)。 四、横向联系知识，变式综合应用

在复习中，为了体现数学与导数的有机结合，尽可能地运用极限、导数、极限、定积分思想方法去解决相关问题，有意识地引导学生渗透导数、极限、定积分思想方法于三角函数、数列、概率、不等式、解析几何等知识之中，使学生看到导数在数学各块知识间的重要作用。 例5 （导数与不等式）已知m、n是正整数，且1mn，证明：(1m)n (1n)m。

简析：由所证不等式两边取自然对数并整理得：

ln(1m)ln(1n)，令

mnf(x)ln(1x)，则1xf(x)2[ln(1x)]，当x2时，可推f(x)0所以

xx1xf(x)在[2,)上为减函数，所以

ln(1m)ln(1n)，即

(1m)n(1n)m。 mn例6 （导数与概率）（辽宁省2007高考题）

某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本C与产量q的函数关系式

q33q220q10(q0)该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，为C 3各种情形发生的概率及产品价格p与产量q的函数关系式如下表所示：

市场情形 好 中 差 概率 0.4 0.4 0.2 价格p与产量q的函数关系式 p1643q p1013q p704q 设L1，L2，L3分别表示市场情形好、中差时的利润，随机变量k，表示当产量为q，而市场前景无法确定的利润．

（I）分别求利润L1，L2，L3与产量q的函数关系式；

（II）当产量q确定时，求期望Ek；（III）试问产量q取何值时，Ek取得最大值． 简析：（I）由题意得：

q3q32L1(1643q)q(3q20q10)144q10(q0)

3333qq18q10(q0)、L350q10(q0)； 同理：L233q3100q10(q0) （II）由期望定义知：Eq0.4L10.4L20.2L33q3100q10(q0)， （III）由（II）知：Eq是产量q的函数：设f(q)Eq3则有f(q)q100，令f(q)0,解得：q10或q10（舍去）；

当0q10时，f(q)0；当q10时,f(q)0，知q10时，f(q)取得最大值，即Eq最大时，产量q为10。

限于篇幅，积分与三角、导数与数列、导数与解析几何等结合的问题略去，教师在教学中可适当补充。

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