《数值分析简明教程》第二版(王能超 编著)课后习题答案 高等教育出版社

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0.1算法

1、 （p.11，题1）用二分法求方程xx10在[1,2]内的近似根，要求误差不

3超过10-3.

【解】 由二分法的误差估计式|x*xk|2k11000.两端取自然对数得kba13，得到10k1k1223ln1018.96，因此取k9，即至少需ln2bk xk f(xk)符号 二分9次.求解过程见下表。 k ak 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 1.5 + x2、（p.11，题2） 证明方程f(x)e10x2在区间[0,1]内有唯一个实根；使用

1二分法求这一实根，要求误差不超过102。

2【解】 由于f(x)ex10x2，则f(x)在区间[0,1]上连续，且

f(0)e0100210，f(1)e11012e80，即f(0)f(1)0，由连续函数的介值定理知，f(x)在区间[0,1]上至少有一个零点.

又f'(x)ex100，即f(x)在区间[0,1]上是单调的，故f(x)在区间[0,1]内有唯一实根.

ba11由二分法的误差估计式|x*xk|k1k1102，得到2k100.

2222ln10两端取自然对数得k23.32196.6438，因此取k7，即至少需二分

ln27次.求解过程见下表。 k ak bk xk f(xk)符号 0 1 0 1 0.5 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

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2 3 4 5 6 7 0.2误差

1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值x12.7，x22.71，x2=2.71，x32.718各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。

【解】有效数字：

1101，所以x12.7有两位有效数字； 211因为|ex2|0.008280.0510，所以x22.71亦有两位有效数字；

213因为|ex3|0.000280.000510，所以x32.718有四位有效数字；

2因为|ex1|0.018280.05r1|ex1|0.051.85%； x12.7|ex2|0.051.85%； x22.71|ex3|0.00050.0184%。 x32.718r2r3评 （1）经四舍五入得到的近似数，其所有数字均为有效数字；

（2）近似数的所有数字并非都是有效数字.

2．（p.12，题9）设x12.72，x22.71828，x30.0718均为经过四舍五入得出的近似值，试指明它们的绝对误差(限)与相对误差(限)。

【解】 10.005，r11x10.0051.84103； 2.720.0000051.84106；

2.7182820.000005，r22x2---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

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30.00005，r33x30.000056.96104；

0.0718评 经四舍五入得到的近似数，其绝对误差限为其末位数字所在位的半个单位.

43．（p.12，题10）已知x11.42，x20.0184，x318410的绝对误差限均为

0.5102，问它们各有几位有效数字？

【解】 由绝对误差限均为0.5102知有效数字应从小数点后两位算起，故x11.42，有

4三位；x20.0184有一位；而x3184100.0184，也是有一位。

1.1泰勒插值和拉格朗日插值

1、（p.54，习题1）求作f(x)sinx在节点x00的5次泰勒插值多项式p5(x)，并计算

p5(0.3367)和估计插值误差，最后将p5(0.5)有效数值与精确解进行比较。

【解】由f(x)sinx，求得f(1)(x)cosx；f(2)(x)sinx；f(3)(x)cosx；

f(4)(x)sinx；f(5)(x)cosx；f(6)(x)sinx，所以

(1)f(2)(x0)f(5)(x0)2f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)(xx0)5 p5(x)

2!5!f(2)(0)2f(5)(0)5(1)f(0)f(0)xxx

2!5!11 xx3x5

3!5!|f(6)()||sin()|1(xx0)6(xx0)6x6，若x0.5，则 插值误差：R5(x)6!6!6!0.336730.33675p5(0.3367)0.33670.3303742887，而

3!5!0.33676R5(0.3367)2.021060.5105，精度到小数点后5位，

6!故取p5(0.3367)0.33037，与精确值f(0.3367)sin(0.3367)0.330374191相比

较，在插值误差的精度内完全吻合！

2、（p.55，题12）给定节点x01,x11,x23,x34，试分别对下列函数导出拉格朗日余项：

（1）f(x)4x3x2；

3---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

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（2）f(x)x2x

【解】依题意，n3，拉格朗日余项公式为 R3(x)（1）f(4)43f(4)()3(xxi) 4!i0(x)0 → R3(x)0；

(4)（2）因为f(x)4!，所以

f(4)()R3(x)(x1)(x1)(x3)(x4)(x1)(x1)(x3)(x4)

4!3、（p.55，题13）依据下列数据表，试用线性插值和抛物线插值分别计算sin(0.3367)的近似值并估计误差。

i 0 0.32 0.314567 1 0.34 0.333487 f(4)2 0.36 0.352274 xi sin(xi)

【解】依题意，n3，拉格朗日余项公式为 R3(x)（1） 线性插值

因为x0.3367在节点x0和x1之间，先估计误差

()3(xxi) 4!i0R1(x)max(xx0)(x1x)f''()sin()(xx0)(xx1)(xx0)(x1x) 2!220.0121104；须保留到小数点后4为，计算过程多余两位。

22---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

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y(x1-x0)2/4y=(x-x0)(x-x1)0P1(x) P1(x) 

x0x1x

xx0xx11(xx0)sin(x1)(x1x)sin(x0) sin(x0)sin(x1)x0x1x1x0x1x01(0.33670.32)sin(0.34)(0.340.3367)sin(0.32) 0.0210.0167sin(0.34)0.0033sin(0.32) 0.02

0.3304

（2） 抛物线插值 插值误差：

R2(x) f'''()cos()(xx0)(xx1)(xx2)(xx0)(x1x)(xx2) 3!6max(xx0)(x1x)(x2x)30.0131106

662yy=(x-x0)(x-x1)(x-x2)Max=3(x1-x0)3/80抛物线插值公式为：

x0x1x2x

P2(x) (xx0)(xx2)(xx1)(xx0)(xx1)(xx2)sin(x0)sin(x1)sin(x2)

(x0x1)(x0x2)(x1x0)(x1x2)(x2x1)(x2x0)---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

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(x1x)(xx0)1(x1x)(x2x)sin(x)(xx)(xx)sin(x)sin(x)00212220.022P2(0.3367)

1053.8445sin(0.32)38.911sin(0.34)2.7555sin(0.36) 0.0221053.8445sin(0.32)38.911sin(0.34)2.7555sin(0.36) 0.33037439 20.02经四舍五入后得：P2(0.3367)0.330374，与sin(0.3367)0.330374191精确值相比较，在插值误差范围内完全吻合！

1.3分段插值与样条函数

x3x21、（p.56，习题33）设分段多项式 S(x)322xbxcx1是以0,1,2为节点的三次样条函数，试确定系数b，c的值. 【解】依题意，要求S(x)在x=1节点

函数值连续：

0x1

1x2S(1)1312213b12c11S(1)，

(1) 即：bc1'22'

一阶导数连续： S(1)3121612b1cS(1)，

(2)

解方程组（1）和（2），得b2,即：2bc1c3，即

导数亦连续。

x3x20x1 S(x)321x22x2x3x1''''由于S(1)321262122S(1)，所以S(x) 在x=1节点的二阶

2、 已知函数y1 的一组数据，x00,x11,x22和y01,y10.5,y20.2，

1x2（1）求其分段线性插值函数；

（2）计算f(1.5)的近似值，并根据余项表达式估计误差。

【解】（1）依题意，将x分为[0,1]和[1,2]两段，对应的插值函数为S1(x)和S2(x)，利用拉格朗日线性插值公式，求得

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S1(x)xx0xx1x1x0y0y110.50.5x1；

x0x1x1x00110xx2xx1x2x1y1y20.50.20.3x0.8

x1x2x2x11221

S2(x)（2）f(1.5)1S2(1.5)0.31.50.80.35，0.30769230769，而 211.5实际误差为：|f(1.5)S2(1.5)|0.04230.05。

由f(1)2x(x),22(1x)f(2)2(13x2)(x),23(1x)f(3)24x(1x2),可(x)24(1x)知M2f(2)(1)0.5，则余项表达式

M|f(2)()|R(x)|(x1)(x2)|20.520.540.06250.5

2!2!1.4 曲线拟合

1、（p.57，习题35）用最小二乘法解下列超定方程组：

2x4y113x5y3 x2y62xy7Q(x,y)(2x4y11)2(3x5y3)2(x2y6)2(2xy7)2，

【解】 构造残差平方和函数如下：

分别就Q对x和y求偏导数，并令其为零：

Q(x,y)0： 6xy17xQ(x,y)0： 3x46y48y解方程组（1）和（2），得

(1)， (2)，

x4617483.04029,273y6483171.24176

27322、（p.57，习题37）用最小二乘法求形如yabx 的多项式，使之与下列数据相拟合。 【解】令Xx，则yabX为线性拟合，根据公式(p.39,公式43)，取m=2，a1=0，N=5，求得

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2

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55525abXi5abxiyi(1)i1i1i1555555224aXibXiaxibxiXiyixi2yii1i1i1i1i1i1 ；

(2) 依据上式中的求和项，列出下表

xi 19 25 31 38 44 yi 19 32.3 49 73.3 97.8 Xi (=xi2) 361 625 961 1444 1936 Xi2(=xi4) 130321 390625 923521 2085136 3748096 ∑

157 271.4 5327 7277699 Xi yi (=xi2yi) 6859 20187.5 47089 105845.2 189340.8 369321.5 将所求得的系数代入方程组（1）和（2），得

5a05327b271.45327a07277699b369321.5a(1)(2)

271.47277699369321.553277791878.10.97258；

572776995327532780115665369321.55327271.4400859.7b0.05004；

57277699532753278011566即：y0.972580.05004x。

22.1 机械求积和插值求积

1、（p.94，习题3）确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明求积公

式所具有的代数精度：

(1)f(x)dxA0f(h)A1f(0)A2f(h)；

hh1113(2)f(x)dxA0f()A1f()A2f()；

042411 (3)f(x)dxf(0)A0f(x0)。

042【解】 （1）令f(x)1,x,x时等式精确成立，可列出如下方程组：

(1)A0A1A22h(2) A0A202AAh(3)203hh4h解得：A0A2,A1h，即：f(x)dx[f(h)4f(0)f(h)]，可以

h333---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

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验证，对f(x)x公式亦成立，而对f(x)x不成立，故公式（1）具有3次代数精度。

（2）令f(x)1,x,x时等式精确成立，可列出如下方程组：

234A0A1A21A02A13A223A12A27A16120解得：A0A2(1)(2)

(3)1211113,A1，即：f(x)dx[2f()f()2f()]，可以

033342434验证，对f(x)x公式亦成立，而对f(x)x不成立，故公式（2）具有3次代数精度。

3A04（3）令f(x)1,x时等式精确成立，可解得：

2x0311322即： f(x)dxf(0)f()，可以验证，对f(x)x公式亦成立，而对

04433f(x)x不成立，故公式（3）具有2次代数精度。

1132、（p.95，习题6）给定求积节点x0,x1, 试构造计算积分If(x)dx的插值型

044求积公式，并指明该求积公式的代数精度。

【解】依题意，先求插值求积系数：

311xx1314dx2(x2x)1； A0dx0xx0132402014411x1xx1121104A1dxdx2(xx)；

0xx03124021044x1插值求积公式：

1

0f(x)dxAkf(xk)k0n1113f()f() 2424①当f(x)1，左边=

1011f(x)dx1；右边=111；左=右；

22

②当f(x)x，左边=

101f(x)dxx22101111311；右边=；左=右；

242422

③当f(x)x，左边=

2101119511；右边=左≠右； f(x)dxx3；

21621616303 故该插值求积公式具有一次代数精度。

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2.2 梯形公式和Simpson公式

1、（p.95，习题9）设已给出f(x)1ex f(x) 0.00 1.000 00 0.25 1.655 34 1xsin4x的数据表，

0.50 1.551 52 0.75 1.066 66 1.00 0.721 59 分别用复化梯形法与复化辛普生法求积分I【解】 （1）用复化梯形法：

0f(x)dx的近似值。

ba10.25n4n1n1hhT5[f(xk)f(xk1)][f(a)2f(xk)f(b)]2k02k10.25T5{f(0.00)2[f(0.25)f(0.50)f(0.75)]f(1.00)}

2T50.125[1.000002(1.655341.551521.06666)0.72159]a0,b1,n5,hT51.28358

（2）用复化辛普生法：

a0,b1,n2,hn1ba10.5n2n1n1hhS2[f(xk)4f(x1)f(xk1)][f(a)4f(x1)2f(xk)f(b)]kk6k06k0k1220.5{f(0.00)4[f(0.25)f(0.75)]2f(0.50)f(1.00)}61S2[1.0000010.8883.103040.72159]1.3093912S2

2、（p.95，习题10）设用复化梯形法计算积分I1xedx，为使截断误差不超过105，021x问应当划分区间【0,1】为多少等分？如果改用复化辛普生法呢？

【解】（1）用复化梯形法， a0,b1,f(x)f'(x)f''(x)e，设需划分n等分，则其截断误差表达式为：

(ba)3(10)3|RT||ITn|maxf''()e； 2312n12n依题意，要求|RT|1105，即 2e1e1055210n212.849，可取n213。 22612n---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

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（2）用复化辛普生法， a0,b1,f(x)f'(x)f''''(x)e，截断误差表达式为：

x(ba)5(10)5e； |RS||ISn|maxf''''()e444180(2n)2880n2880n依题意，要求|RS|1105，即 2e1e1055410n3.70666，可取n4，划分8等分。 4214402880n

2.3 数值微分

1、（p.96，习题24）导出三点公式(51)、(52)和(53)的余项表达式

1[3f(x0)4f(x1)f(x2)]2h1f'(x1)[f(x0)f(x2)]2h1f'(x2)[f(x0)4f(x1)3f(x2)]2hf'(x0)(51)(52) (53)【解】如果只求节点上的导数值，利用插值型求导公式得到的余项表达式为

f(n1)(k)nR(xk)f'(xk)p'(xk)(xkxj)

(n1)!j0jk由三点公式(51)、(52)和(53)可知，n2,hx1x0x2x1，则

f(21)(0)2f'''(0)f'''(0)2R(x0)(x0xj)(x0x1)(x0x2)h

(21)!3!3j1

f'''(0)2f(21)(1)2f'''(1)R(x1)(x1xj)(x1x0)(x1x2)h

(21)!3!6j0j1

f(21)(2)2f'''(2)f'''(2)2R(x2)(x2xj)(x2x0)(x2x1)h

(21)!3!3j0j22、（p.96，习题25）设已给出f(x)x f(x) 1的数据表， 2(1x)1.1 0.2268 1.2 0.2066 1.0 0.2500 试用三点公式计算f'(1.0),f'(1.1),f'(1.2)的值，并估计误差。

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【解】已知x01.0,x11.1,x21.2,hx1x0x2x10.1，用三点公式计算微商：

11[3f(1.0)4f(1.1)f(1.2)][30.250040.22680.2066]0.24702h20.111f'(1.1)[f(1.0)f(1.2)][0.25000.2066]0.21702h20.111f'(1.2)[f(1.0)4f(1.1)3f(1.2)][0.250040.226830.2066]0.18702h20.112624f(x);f'(x);f''(x);f'''(x)，

(1x)2(1x)3(1x)4(1x)5f'(1.0)用余项表达式计算误差

R(1.1)f'''(0)2240.12R(1.0)h0.0025533(11.0)f'''(1)2240.123!h3!(11.0)50.00125f'''(2)2240.12R(1.2)h0.04967 533(11.1)3、（p.96，习题26）设f(x)sinx，分别取步长h0.1,0.01,0.001，用中点公式（52）计算f'(0.8)的值，令中间数据保留小数点后第6位。 【解】中心差商公式：f'(a)f(ah)f(ah)f'''(a)2，截断误差：R(h)h。可

2h3!见步长h越小，截断误差亦越小。

(1) h0.1,x00.8h0.7,x20.8h0.9,则

11[sin(0.9)sin(0.7)][0.7833270.644218]0.695545； 2h20.1(2) h0.01,x00.8h0.79,x20.8h0.81,则

11f'(0.8)[sin(0.81)sin(0.79)][0.7242870.710353]0.6967

2h20.01(3) h0.001,x00.8h0.799,x20.8h0.801,则

11f'(0.8)[sin(0.801)sin(0.799)][0.7180520.716659]0.69652h20.01f'(0.8)而精确值f'(0.8)cos(0.8)0.6967067，可见当h0.01时得到的误差最小。在

h0.001时反而误差增大的原因是f(0.8h)与f(0.8h)很接近，直接相减会造成有效

数字的严重损失。因此，从舍入误差的角度看，步长不宜太小。

3.1 Euler格式

1、（p.124，题1）列出求解下列初值问题的欧拉格式

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(1)y'x2y2(0x0.4)，y(0)1，取h0.2；

yy(2)y'xx

2(1x1.2)，y(0)1，取h0.2；

2222【解】 （1）yn1ynhy'nynh(xnyn)yn0.2(xnyn)；

（2）yn122ynynynyynh(2)yn0.2(2n)。

xnxnxnxn2、（p.124，题2）取h0.2，用欧拉方法求解初值问题y'yxy(0x0.6)，

2y(0)1。

22【解】欧拉格式：yn1ynhy'nynh(ynxnyn)yn0.2(ynxnyn)；化2简后，yn10.8yn0.2xnyn，计算结果见下表。

n xn yn

0 0.0 1.0 1 0.2 0.8 2 0.4 0.6144 3 0.6 0.4613 3、（p.124，题3）取h0.1，用欧拉方法求解初值问题y'12y2(0x4)，21xy(0)0。并与精确解y2x1比较计算结果。 21x11222y)y0.2(2ynnn)；221xn1xn【解】欧拉格式：yn1ynhy'nynh(化简后，yn1yn0.4yn20.2，计算结果见下表。 21xn 1、（p.124，题7）用改进的欧拉方法求解上述题2，并比较计算结果。

【解】 因为y'f(x,y)yxy(0x0.6)，h0.2，且y(0)1，则改进的欧拉公式：

2---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

22ypynhf(xn,yn)ynh(ynxnyn)0.8yn0.2xnyn22ycynhf(xn,yp)ynh(ypxnyp)yn0.2(ypxnyp)。 (ypyc)yn12计算结果见下表。

n xn yp yc yn 与原结果比较见下表

0 0.0 1.0 0.76 0.88 0 0.0 1.0 0.88 1 0.2 0.6730 0.7092 0.6911 1 0.2 0.8 0.6911 2 0.4 0.5147 0.5564 0.5356 2 0.4 0.6144 0.5356 3 0.6 0.3941 0.4319 0.413 3 0.6 0.4613 0.413 n xn yn yn(改进)

3.3 龙格-库塔方法

1、（p.124，题11）用四阶经典的龙格-库塔方法求解初值问题y'83y，y(0)2，试取步长h0.2计算y(0.4)的近似值，要求小数点后保留4位数字。

【解】 四阶经典的龙格-库塔方法公式：

hyn1yn(K12K22K3K4)6Kf(x,y)nn1h； Kf(x,yK1)21nn22hK3f(x1,ynK2)n22Kf(x,yhK)n1n34列表求得y(0.4)如下：

n 0 1 2 xn 0.0 0.2 0.4 yn 2.000 2.3004 2.4654 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

4.1 迭代法及收敛定理

1、（p.153，题1）试取x01，用迭代公式xk132202xk2xk10(k0,1,2,)，求

方程x2x10x200的根，要求准确到10。

【解】 迭代计算结果列于下表 3k 1 2 3 4 5 xk 1.53846 1.29502 1.40182 1.35421 1.37530

|xk-xk-1| 0.53846 0.24344 0.10680 0.04761 0.02109 <0.001 N N N N N k 6 7 8 9 xk 1.36593 1.37009 1.36824 1.36906 |xk-xk-1| 0.00937 0.00416 0.00185 0.00082 <0.001 N N N Y 3因为|x9x8|0.0008210，所以xx91.36906。

2、（p.153，题2）证明方程x代过程xk11cosx有且仅有一实根。试确定这样的区间[a,b]，使迭21cosxk对x0[a,b]均收敛。 21111【证明】设：g(x)cosx，则当xR时，g(x)cosx[,]，且一阶导数

22221111g'(x)sinx连续， |g'(x)||sinx|1，所以迭代过程xk1cosxk对

22221x0R均收敛。（压缩映像定理），方程xcosx有且仅有一实根。<证毕>

23、（p.153，题4）证明迭代过程xk1xk1对任意初值x01均收敛于2。 2xk【证明】设：g(x)x1x1x12，对于任意x1，因为2所以g(x)2。，

2x2x2xxk1111x一阶导数g'(x)21， 根据压缩映像定理，迭代公式k1对任意

2xk2x2初值x01均收敛。假设limxkx，对迭代式xk1kxk1两边取极限，则有2xk---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

x1x，则x2x22，解得x2，因x2不在x1范围内，须舍去。

故x2。<证毕>

4.2 牛顿迭代法

1、（p.154，题17）试用牛顿迭代法求下列方程的根，要求计算结果有4位有效数字：

3（1）x3x10，x02 2x（2）x3xe20，x01

【解】 （1）设f(x)x3x1，则f'(x)3x3，牛顿迭代公式：

32xk1k 33f(xk)xk3xk12xk1xkxk22f'(xk)3xk33(xk1)(k0,1,2,)，迭代计算过|xk-xk-1| 0.00006 程见下列表。 xk |xk-xk-1| 0.11111 0.00944 2x<0.0001 N N k 3 xk 1.87939 x<0.0001 Y 1 1.88889 2 1.87945

4因为|x3x2|0.0000610，所以xx31.879。

（2）设f(x)x3xe2，则f'(x)2x3e，牛顿迭代公式：

xk1k 22f(xk)xk3xkexk2xkexk(xk1)2xkxkxkf'(xk)2xk3e2xk3exk(k0,1,2,)<0.001 N Y ，迭代计算过程见下列表。 xk |xk-xk-1| 0.73106 0.01155 <0.0001 N N k 3 4 xk 0.25753 0.25753 |xk-xk-1| 0.00014 0.00000 1 0.26894 2 0.25739

4因为|x3x2|0.0000010，所以xx40.2575。

32、（p.154，题18）应用牛顿法于方程xa0，导出求立方根3a(a0)的迭代公式，

并证明该迭代公式具有二阶收敛性。

【证明】（1）设：f(x)xa，则f'(x)3x，对任意x0，牛顿迭代公式

32xk133f(xk)xka2xka k0,1,2, xkxk22f'(xk)3xk3xk2x3a(x0) （2）由以上迭代公式，有：limxkxa。设 g(x)k3x23---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

g(x)x；g'(x)2a2a(13)0；g''(x)43xx3axxa323a。

xk1xg(xk)g(x)g'(x)(xkx)g''()(xkx)2 2!xk1xg''(x)1，可见该迭代公式具有二阶收敛性。<证毕> lim3k(xx)22!ak5.1 线性方程组迭代公式

1、（p.170，题1）用雅可比迭代与高斯-赛德尔迭代求解方程组：果有3位有效数字。

3x1x22，要求结

x12x211(k)21(k1)(k)xx(2x)122333【解】 雅可比迭代公式：，迭代计算结果列于下表。

111x(k1)x(k)(1x(k))211222(k)(k)(k1)k x1(k) x2|x1(k)x1(k1)| |x2x2| 0.0005? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 2/3 1/2 11/18 7/12 0.60185 0.59722 0.60031 0.59954 0.60005 0.59992 0 1/2 1/6 1/4 7/36 0.20833 0.19908 0.20139 0.19985 0.20023 0.19998 - 2/3 1/6 1/9 1/36 0.01852 0.00463 0.00309 0.00077 0.00051 0.00003 - 1/2 1/3 1/12 1/18 0.01389 0.00925 0.00231 0.00154 0.00038 0.00025 N N N N N N N N N Y x1x1(10)0.600;(10)x2x20.200；

由上表可见，所求根皆为小数点后第1位不为零的小数，要取3位有效数，则误差限为

1103。 21(k)21(k1)(k)xx2(2x2)1333高斯-赛德尔迭代公式：，迭代计算结果列于下表。

x(k1)1x(k1)11(1x(k))212226(k)(k)(k1)k x1(k) x2|x1(k)x1(k1)| |x2x2| 0.0005? 0 1 0 2/3 0 1/6 - 2/3 - 1/6 N ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2 3 4 5

0.6111 0.6019 0.6003 0.6000 0.1944 0.1991 0.1999 0.1999 0.0092 0.0016 0.0003 0.0047 0.0008 0.0000 N N N Y x1x1(5)0.600;(5)x2x20.200；

2、（p.171，题7）取1.25，用松弛法求解下列方程组，要求精度为

1104。 24x13x2163x14x2x320 x4x1232【解】欧先写出高斯-赛德尔迭代：

3(k)~(k1)xx24143(k)1(k)9(k)1(k)~(k1)~x1x35x2x32x2441649(k)1(k)5~(k1)1~(k)xx3x2x323464162引入松弛因子，得

(1)

1(k)5~(k1)(k1)(k)(k1)~x(1)xxx1x1111441(k)5~(k1)(k1)(k)(1)x2~x2(k1)x2x2x2441(k)5~(k1)(k1)(k)(k1)~x(1)xxx3x333344将方程组（1）代入（2），并化简

(2)

1(k)15(k)(k1)xx1x251416(k1)29(k)5(k)5x2x3x26416245(k)11(k)25(k1)xx2x33256648计算结果见下表。

(3)

k x1(k) (k)x2 (k)x3 (k)(k1)|x1(k)x1(k1)||x2x2|(k)(k1)|x3x3|e? - N N N 0 0 0 0 1 5 2.5 -3.125 2 1.40625 2.65625 -2.14844 3 2.15820 3.03223 -2.28882 - 5 - 2.5 - 3.125 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7

1.61173 1.63577 1.54959 1.53284 1.51561 1.50880 1.50453 1.50245 1.50129 1.50069 1.50037 1.50016 1.50010 1.50005 3.15872 3.24423 3.28508 3.30793 3.31978 3.32615 3.32951 3.33130 3.33225 3.33276 3.33306 3.33318 3.33325 3.33329 -2.19860 -2.19187 -2.17800 -2.17320 -2.17001 -2.16847 -2.16762 -2.16717 -2.16694 -2.16672 -2.16676 -2.16670 -2.16668 -2.16668 0.00005 0.00004 0.00000 N N N N N N N N N N N N N Y (17)迭代解：x1x11.5001,(17)x2x23.3333,(17)x3x32.1667.

精确解：x131.5,2x2103.3333,3x3132.1667. 65.1 线性方程组迭代公式

1、（p.170，题2）试列出求解下列方程组的雅可比迭代公式与高斯-赛德尔迭代公式，并考察迭代过程的收敛性。

10x1x35x47x8x3x11123 3x2x8xx232341x12x22x37x417【解】（1）雅可比迭代公式：

(k1)x1x(k1)2x(k1)3(k1)x41(k)1(k)7x3x41021013(k)11x1(k)x3888 (1)

31(k)1(k)23x1(k)x2x4848812(k)2(k)17x1(k)x2x37777---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

01GJ8481700142711038027120，GJ18071，迭代收敛。 8

（2）高斯-赛德尔迭代公式：

(k1)x1x(k1)2x(k1)3(k1)x4(k1)x1x(k1)2x(k1)3(k1)x41(k)1(k)7x3x41021013(k)11x1(k1)x3888 (2) 3(k1)1(k1)1(k)23x1x2x4848812(k1)2(k1)17x1(k1)x2x377771(k)1(k)7x3x41021031(k)1(k)117x3x4801680 (3)

19(k)19(k)787x3x432064320121(k)39(k)3991x3x4112022411201110231108016，GGS19190320648939011202240将方程组（1）带入（2），经化简后，得：

GGS00031，迭代收敛。 5 2、（p.171，题5）分别用雅可比迭代与高斯-赛德尔迭代求解下列方程组：

x12x21（1）

3xx221---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

x15x23x32（2）5x12x2x34

2xx5x11231【解】（1）雅可比迭代：

(k1)(k)2x21x1 ，G(k1)(k)3x12x231,不收敛。

高斯-赛德尔迭代：

(k1)(k)(k1)(k)2x212x21x1x1 或 ，G(k1)(k1)(k1)(k)3x126x15x2x261,不收敛。

（2）雅可比迭代：

(k)(k)x1(k1)5x23x32(k)5(k)1(k)x2x1x32，G22(k1)2(k)1(k)11x3x1x2555高斯-赛德尔迭代：

81,不收敛。

(k1)(k)(k)(k)(k)x1x1(k1)5x25x23x323x3225(k)(k)5(k1)1(k)(k)(k)xxx2xx28x33 或 22132221(k)14(k)18(k1)2(k1)1(k1)11(k1)xxxxx2x33123555255G81,不收敛。

3、（p.171，题6）加工上述题5的方程组，比如调换方程组的排列顺序，以保证迭代过程

的收敛性。

【解】加工后结果如下：

3x1x22（1）

x2x1215x12x2x34（2）x15x23x32

2xx5x11231方程组（1）的雅可比迭代：

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1(k)2(k1)3xx2133，GJ11x(k1)x(k)2122方程组（1）的高斯-赛德尔迭代：

11，迭代收敛。 21(k)2(k1)3xx2133，GGS12x(k1)x(k)2163方程组（2）的雅可比迭代：

11，迭代收敛。 3(k1)2(k)1(k)4x2x3x15551(k)3(k)2(k1)x2x1x3，GJ555(k1)2(k)1(k)11x1x2x3555方程组（1）的高斯-赛德尔迭代：

41，迭代收敛。 5(k1)2(k)1(k)4x2x3x15552(k)16(k)6(k1)，GGSx3x2x22525256(k)321(k1)18(k)xxx323125125125

181，迭代收敛。 256.1 高斯消元法

1、（p.198，题2）用选列主元高斯消元法求解下列方程组：

x1x2x34（1）5x14x23x312

2xxx112312x13x25x35（2）3x14x27x36

x3x3x5231---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

541114543121r1r2r1r251【解】 （1）54312111405211112111121

31228 55111543122r1r354312543125r355r3012801280128

13179211110131790555543121r2r35431213r354312r2r31325013179013179013179

252501280011001313x794x3x312463(1)126,x123. 所以： x31，x231355235534762r1r234763476r1r23113r2（2）34762355010113

3313351335133513351r1r333001r2r33500476343r31130152305334765r3335290035650347676r2r3130529

011329476529 012所以： x32，x22x394x27x36417261,x14. 535

2、（p.199，题9）计算下列三阶坡度阵的条件数：

11（1）213121314131。 415---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

11【解】令：A213

121314131，先求A-1。 41500110 200111121312131411110011323r1r2211101004121211110015345112r20131r2r31212114111001r1r2132316120011100015121100316120

41014531100316120

13018018011111001180r3232011612001110000111806112r3r201001r2r12111001r3r1109606032303619218001036192180 130180180001301801809363036301009，所以 A136192180

0103619218000130180180301801801A

最后求得条件数为：cond(A)A

11408748 6---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------